Calculo1 Aula04 LIMITES

Aula 4
Limites. Uma introdu»c~ ao intuitiva
Nos cap¶³tulos anteriores, ¯zemos uso de um limite especial para calcular derivadas:
(x)
f 0 (x) = lim f (x+¢x)¡f
.
¢x
¢x!0

Neste cap¶³tulo veremos os limites como ferramentas de estudo do comportamento de fun»c~oes reais, provendo informa»c~oes importantes sobre seus gr¶a¯cos.
A de¯ni»c~ao formal de limite ¶e matematicamente so¯sticada, requerendo muitas horas de estudo para ser entendida. O leitor interessado poder¶a encontr¶a-la em bons livros-textos de c¶alculo. Ocorre por¶em que a de¯ni»c~ao de limite tem pouca ou nenhuma serventia quando queremos calcular limites. Faremos uma explora»c~ao intuitiva do conceito de limite e de suas propriedades, atrav¶es de exemplos e interpreta»c~oes gr¶a¯cas.
Exemplo 4.1 Considere a fun»c~ao f(x) = 2x + 3. Quando x assume uma in¯nidade de valores aproximando-se mais e mais de 0, o n¶umero 2x + 3 assume uma in¯nidade de valores aproximando-se de 2 ¢ 0 + 3 = 3. Dizemos que o limite de f (x), quando x tende a 0, ¶e igual a 3, e escrevemos lim f (x) = 3 x!0 Suponhamos que f(x) ¶e uma fun»c~ao real de¯nida em uma reuni~ao de intervalos, e que x0 ¶e um ponto no interior ou no extremo de um desses intervalos. Os matem¶aticos dizem que lim f (x) = L (L 2 R) quando podemos fazer f (x) arbitrariamente pr¶oximo x!x0 de L, tomando x su¯cientemente pr¶oximo de x0 , mantendo x 6
= x0 . No exemplo acima, podemos fazer f (x) pr¶oximo de 3 o quanto quisermos, bastando tomar x bem pr¶oximo de 0.
Exemplo 4.2 Aqui temos uma lista de exemplos intuitivos.

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~o intuitiva
Limites. Uma introduc
»a
1. lim x = a x!a 2. lim xn = an x!a 29

(a 2 R)
(n 2 N, a 2 R)

3. Sendo p(x) = an xn + an¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 , (an ; : : : ; a0 todos reais), lim p(x) = an xn0 + an¡1 xn¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a1 x0 + a0 = p(x0 )
0

x!x0

lim (x3 ¡ 3)
8¡3
x3 ¡ 3 x!2 =
=
=1
4. lim 2
2
x!2 x + 1 lim (x + 1)
4+1
x!2

De¯ni»c~ ao 4.1 Nos exemplos acima, de limites com x tendendo a x0 , tivemos sempre x0 no dom¶³nio de f e lim