Calculo1 Aula03

Aula 3
Deriva»c~
ao em cadeia e deriva»c~ ao impl¶³cita
A regra da cadeia ¶e uma regra de deriva»c~ao que nos permite calcular a derivada de uma composi»c~ao (ou um encadeamento) de fun»c~oes, tais como f (g(x)) ou f (g(h(x))), conhecendo-se as derivadas f 0 (x), g 0 (x) e h0 (x).
Quando temos uma fun»c~ao composta, tal como y = (x3 + x ¡ 1)10 , podemos decomp^o-la em fun»co~es elementares. Simplesmente escrevemos y = u10 ;

u = x3 + x ¡ 1:

Na nota»c~ao de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que dy dy du
=
¢ dx du dx
No caso, teremos ent~ao dy dy du
=
¢ dx du dx
= 10u9 ¢ (3x2 + 1)
= 10(x3 + x ¡ 1)9 (3x2 + 1)
Repetindo tudo, passando da nota»c~ao de Leibniz para a nota»c~ao de Lagrange, temos y = f (u); u = g(x) e ent~ao dy dy du
=
¢ dx du dx
= f 0 (u) ¢ g 0 (x)
= f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x)
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~o em cadeia e derivac
~o impl¶³cita
Derivac
»a
»a

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Regra 3.1 (Deriva»c~ ao em cadeia) Se y = f (u) e u = g(x) ent~ao dy dy du
=
¢ dx du dx
Em outras palavras, sendo y = f (g(x)), tem-se y 0 = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x):
Observa»c~
ao 3.1 A id¶eia intuitiva que inspira a regra da cadeia ¶e a seguinte: sendo y = f (u) e u = g(x), temos ¢u = g(x + ¢x) ¡ g(x) e, ¢y = f (u + ¢u) ¡ f (u)
Assumindo, para simpli¯car, que ¢u 6
= 0 sempre que ¢x 6
= 0 (o que nem sempre ocorre!), temos
¢y
¢y ¢u
=
¢
¢x
¢u ¢x
Quando ¢x tende a 0, ¢u tamb¶em tende a 0 (observa»c~ao 2.1), e assim
¢y
¢y
¢u
= lim
¢ lim
¢x!0 ¢x
¢u!0 ¢u ¢x!0 ¢x lim e portanto dy dy du
=
¢ dx du dx
Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma dedu»c~ao mais rigorosa da regra da cadeia, um procedimento poss¶³vel mas deveras so¯sticado.
Exemplo 3.1 Calcular

dy
, sendo y = ((x2 + 1)10 + 1)8 . dx Solu»c~ao. Escrevemos y = u8 ;

u = v10 + 1;

v = x2 + 1

Assim, estamos compondo (encadeando) tr^es fun»c~oes. Aplicando a regra da cadeia temos dy du dy =
¢
dx du dx dy du dv
=
¢
¢
du dv dx
= 8u7 ¢ 10v 9 ¢ 2x
= 160(v 10 + 1)7 (x2 + 1)9 x
= 160x((x2 + 1)10 + 1)7 (x2 + 1)9

~o em cadeia e derivac
~o impl¶³cita
Derivac
»a
»a

3.1

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