Calculo1 Aula02

Aula 2
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de deriva»c~ ao 2.1

A derivada como inclina»c~ ao de uma reta tangente ao gr¶ a¯co da fun»c~ ao Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atrav¶es do conceito de velocidade instant^anea. Veremos agora uma interpreta»c~ao geom¶etrica da derivada, em rela»c~ao ao gr¶a¯co da fun»c~ao y = f (x). Esta ¶e uma id¶eia de Fermat. y y = f(x)

r

P

f( x 0 + ∆ x)

∆y t P0

f( x 0)
0

α

β

x0

x0 + ∆ x

x

∆x

Figura 2.1. A derivada da fun»c~ao f , em x0 , ¶e a inclina»c~ao da reta t, tangente ao gr¶a¯co de f em P0 .
Fixado um valor x0 , sendo de¯nido f (x0 ), seja ¢x 6
= 0 um acr¶escimo (ou de11

~o
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac
»a

12

cr¶escimo) dado a x0 . Sendo x1 = x0 + ¢x, temos que a raz~ao f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) f(x1 ) ¡ f (x0 )
¢y
=
=
¢x
¢x
x1 ¡ x0
¶e o coe¯ciente angular da reta r, secante ao gr¶a¯co da curva y = f (x), passando pelos pontos P0 = (x0 ; f(x0 )) e P = (x1 ; f(x1 )).
Observando os elementos geom¶etricos da ¯gura 2.1, temos que quando ¢x tende a 0, o ponto P tem como posi»c~ao limite o ponto P0 , e a reta secante P0 P ter¶a como posi»c~ao limite a reta t, tangente ao gr¶a¯co de f no ponto P0 .
Na ¯gura, temos ainda, da geometria anal¶³tica elementar, tg ¯ = tangente do ^angulo ¯
= coe¯ciente angular (ou inclina»c~ao) da reta secante P0 P
¢y
=
:
¢x tg ® = tangente do ^angulo ®
= coe¯ciente angular da reta t, tangente ao gr¶a¯co de f , no ponto P0 :
Note aqui diferentes empregos (com diferentes signi¯cados) da palavra tangente: a tangente (trigonom¶etrica) do ^angulo ®, nos d¶a a inclina»c~ao, ou declividade, ou coe¯ciente angular, da reta t, que ¶e (geometricamente) tangente ao gr¶a¯co de f (ou que tangencia o gr¶a¯co de f) no ponto P0 .
Quando ¢x tende a 0, ¯ tende a ®, e ent~ao

¢y
¢x

= tg ¯ tende a tg ®.

¢y
= tg ®.
¢x!0 ¢x

Da¶³, lim

Assim, com este argumento geom¶etrico e intuitivo, interpretamos f 0 (x0 ) = tg ® como sendo o coe¯ciente angular (ou a