calculo V

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL V
AULA
18

01

AGOSTO 2014

Limites
Prof. Cacico

[e-mail] [e-mail] [e-mail]

LIMITES LATERAIS

Há funções contínuas que não são definidas em toda a reta, isto é, cujo domínio não é R, mas um subconjunto dele.
Assim, por exemplo:
a) f ( x) 

x, x  0

É uma função contínua no seu domínio R+ (o gráfico é uma curva contínua sem interrupções no domínio dela);

b) f ( x) 

1
,x  0 x É uma função contínua no seu domínio R*;
c) f ( x)  log x, x  0
É uma função contínua no seu domínio R*+;
d) f ( x)  arcsenx,1  x  1
É uma função contínua no seu domínio [-1 ; 1]
Em qualquer dos casos, se x0 está no domínio da função contínua f temos que

lim f ( x)  f ( x0 )

x  x0

Mas devemos distinguir aqui duas situações.
1ª Situação:
Quando existe f(x) em todos os pontos de um intervalo contendo x0 , podemos calcular f(x) fazendo x tender a x0 pela direita e também pela esquerda. Neste caso, existem os dois limites laterais de f:

lim f ( x)  f ( x0 )

(limite à esquerda)

lim f ( x)  f ( x0 )

(limite à direita)


0

xx


0

xx

Observamos que

lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 )

x  x0

x  x0

x  x0

2ª Situação:
Se f é definida num intervalo fechado na extremidade x0 , só podemos calcular f(x) fazendo x tender a x0 por um dos lados, à direita ou à esquerda. Neste caso, existe apenas um dos limites laterais (o do lado onde f está definida); o outro não é definido.

INEXISTÊNCIA DO LIMITE
Consideremos a função

f ( x) 

| x| x {

1, se x >0
-1, se x0. Então:

1 lim   x2 ( x  2)²

LIMITES NO INFINITO
Agora estudaremos limites de funções reais que ocorrem quando aumentamos ou diminuímos x ilimitadamente, isto é, fazendo x tender a +∞ ou a - ∞, e que chamaremos de limites no infinito.
Há funções que, quando x→ +∞ ou a - ∞, crescem ou decrescem ilimitadamente. Assim, podemos