Calculo Derivada 2 Bim1

REGRAS DE DERIVAÇÃO
Proposição 6 (derivada da raiz)

Exemplo 01: Calcule a derivada da função 𝑓 𝑥 =
𝑓′ 𝑥 =

1
4

4. 𝑥 4−1

=

4

𝑥

1
4

4. 𝑥 3

CALCULO 1

CALCULO 1

09/10/2014

09/10/2014

09/10/2014

REGRAS DE DERIVAÇÃO
Proposição 8 (derivada do quociente)

Exemplo 03: Calculemos a derivada do quociente de f (x) = x2+ 2x + 1 por g (x) = 2x − 1 definida por ℎ 𝑥 =

𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)

=

𝑥 2 +2𝑥+1
2𝑥−1

CALCULO 1

Danilo
César

CALCULO 1

Danilo
César

Danilo
César

Danilo
César

09/10/2014

09/10/2014

REGRAS DE DERIVAÇÃO
Proposição 7 (derivada do produto)

Exemplo 02: Calcule a derivada do produto das funções g (x) = 2x − 1 e f (x) = x2+ 2x + 1 definida por h(x) = f(x).g(x) h(x) = (x2+ 2x + 1).(2x − 1)
Pela regra da derivada do produto tem-se h’(x) = (x2+ 2x + 1)’.(2x − 1) + (x2+ 2x + 1).(2x − 1)’ h’(x) = (2x + 2).(2x − 1) + (x2+ 2x + 1).(2) h’(x) = 4x2 – 2x + 4x – 2 + 2x2 + 4x + 2 h’(x) = 6x2 + 6x

REGRAS DE DERIVAÇÃO
Exercícios de Fixação
1 – Utilize a regra do produto ou a regra do quociente para calcular cada derivada a seguir:

a) 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3 . ( 𝑥)
b) 𝑓 𝑥 =

𝑥
−𝑥+3

c) 𝑔 𝑥 = 𝑥. 4 𝑥
𝑥+1

d) ℎ 𝑥 = 2𝑥−5
e) 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 . (2𝑥 − 𝑥 3 )

1

Danilo
César
09/10/2014

REGRAS DE DERIVAÇÃO
Derivada das funções trigonométricas
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

→

𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥

𝑓 𝑥 = cos 𝑥
→
𝑓 ′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
________________________________________________________
Exemplo 04: Utilize a regra do quociente e determine a derivada da função: 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 = cos(𝑥) ′

𝑓′ 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠′(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

cos 𝑥 . cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )
𝑓′ 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

CALCULO 1

CALCULO 1

09/10/2014

Danilo
César
09/10/2014

REGRAS DE DERIVAÇÃO
2

𝑓′ 𝑥 =

𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

Como 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) = 1 , substituindo tem-se:
𝑓′ 𝑥 =

1
1
=
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) cos(𝑥) Tem-se também que

𝑓′ 𝑥 =

1 cos(𝑥) 1 cos(𝑥) 2

= sec(𝑥), substituindo