CALC NUM ESPA OS VETORIAIS Exemplos Resolvidos

FACULDADE ANHANGUERA DE CUIABÁ

Disciplina de Cálculo Numérico
Professor Geonir Paulo Schnorr
ESPAÇOS VETORIAIS: INDEPENDÊNCIA LINEAR, BASE E DIMENSÃO
Exemplos resolvidos
1) Mostre que (1,-1), (1,2) e (2,1) são linearmente dependentes.
2) Dados ܸ = ܴ² e ‫ݒ‬1 = (1, −1) e ‫ݒ‬2 = (1,2).
‫ݒ‬1 e ‫ݒ‬2 são linearmente independentes?
3) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em ܴ².
a) ‫ݒ‬1 = (2,1) ݁ ‫ݒ‬2 = (3,2)
b) ‫ݒ‬1 = (−2,1), ‫ݒ‬2 = (1,3) e ‫ݒ‬3 = (2,4)
4) Indique se os vetores dados no exercício anterior formam ou não uma base para ܴ².
5) Dados ‫ݔ‬1 = (2,1) e ‫ݔ‬2 = (4,3). Mostre que ‫ݔ‬1 e ‫ݔ‬2 formam uma base para ܴ² e diga qual é a dimensão desta base.
RESPOSTAS:
1) ‫ݒ‬ଵ = (1, −1); ‫ݒ‬ଶ = (1, 2); ‫ݒ‬ଷ = (2, 1)
Os vetores ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , ‫ݒ‬ଷ são linearmente dependentes se, e somente se, existe um conjunto de números complexos ܽଵ , … , ܽ௡ com ܽ௜ ≠ 0 para pelo menos um valor de i, tal que ܽଵ ‫ݒ‬ଵ + ܽଶ ‫ݒ‬ଶ + ܽଷ ‫ݒ‬ଷ = 0 , ou seja: ܽଵ (1, −1) + ܽଶ (1, 2) + ܽଷ (2, 1) = 0
Podemos verificar que se ܽଵ = ܽଶ = 1 e ܽଷ = −1, então:
1(1, −1) + 1(1, 2) − 1(2, 1) =
(1, −1) + (1, 2) + (−2, −1) = 0
Logo, os vetores ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ e ‫ݒ‬ଷ são ݈݅݊݁ܽ‫ݏ݁ݐ݊݁݀݊݁݌݁݀ ݁ݐ݊݁݉ݎ‬.
2) São linearmente independentes, pois:
ܽଵ ‫ݒ‬ଵ + ܽଶ ‫ݒ‬ଶ = 0 => ܽଵ (1, −1) + ܽଶ (1,2) = (0,0)
ܽ1 + ܽ2 = 0
ቄ
−ܽ1 + 2 ܽ2 = 0 Reduzindo a matriz na forma escada, veremos que o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da aumentada, portanto ܽ1 = 0 e ܽ2 = 0, portanto, os vetores são linearmente independentes.
3)
a) São linearmente independentes.
ܽ1‫ݒ‬1 + ܽ2‫ݒ‬2 = 0
ܽ1(2,1) + ܽ2(3,2) = 0
2 ܽ1 + 3 ܽ2 = 0
ቄ
ܽ1 + 2 ܽ2 = 0 www.geonir.webnode.com.br Se o determinante da matriz dos coeficientes for igual à zero, a matriz é singular e se for diferente de zero, é inversível.
Então podemos também resolver o problema de independência linear achando o determinante da matriz.
Neste caso, ‫ = ݐ݁ܦ‬0, portanto, os vetores são ݈݅݊݁ܽ‫ݏ݁ݐ݊݁݀݊݁݌݁݀݊݅ ݁ݐ݊݁݉ݎ‬.
b)