Bibliografia mmq

U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO DE JANEIRO
C AMPUS M ACAÉ

Laboratório de Física 2
23 de Dezembro de 2011

1 Método dos mínimos quadrados (MMQ)
Em certas ocasiões, coleta-se no laboratório um conjunto de N dados em pares (xi , yi ), e pretende-se verificar uma relação entre essas medidas. Havendo uma relação linear entre os observáveis x e y, ou seja, y = A + Bx, pode-se verificar essa relação por meio de um ajuste linear (ou regressão linear), que tem como objetivo encontrar o possível intervalo de valores em que podemos encontrar os coeficientes linear A e angular B. Considere que para as medidas (xi , yi ) ajustou-se um reta yi = A − Bxi , com suas respectivas incertezas δ A e δ B. Assim, os resultados do ajuste linear podem ser confrontados com os valores conhecidos das grandezas, a saber: A = A ± δ A e B = B ± δ B. Para fazer o ajuste linear, pode-se examinar o comportamento dos desvios dos pontos experimentais em relação as retas, yi − A − Bxi , considerando A e B como variáveis. A ideia do método dos mínimos quadrados é encontrar o extremo da soma dos desvios quadráticos dos pontos experimentais em relação a reta, ou seja, o que se almeja é calcular os valores de A e B para os quais o resíduo
N

χ 2 = ∑ (yi − A − Bxi )2 , i=1 (1)

é mínimo. Seguindo o procedimento usual do cálculo diferencial em duas variáveis, é necessário que o gradiente de χ 2 (A, B) seja nulo. Com efeito, devem-se verificar as igualdades
N ∂ χ2 = −2 ∑ (yi − A − Bxi ) = 0 , ∂A i=1 N ∂ χ2 = −2 ∑ (yi − A − Bxi )xi = 0 . ∂B i=1

(2) (3)

Acima encontra-se um sistema de duas equações lineares nas incógnitas A e B. A solução desse sistema de equações é a seguinte:1 ¯ ¯ ∑ (xi − x)(yi − y) B= i=1 N N

, − x)2 ¯

(4)

∑ (xi i=1 A = y − Bx . ¯ ¯

(5)

Uma vez calculados os valores A e B que determinam a melhor reta (calculada com o MMQ), pode-se estimar as incertezas δ A e δ B. Considerando que a incerteza na medida x é desprezível, a grandeza que quantifica a