AulaModelagem 2

•Questão 1
Calcular a solução do sistema, usando o Matlab,

Usando numa notação matricial, o sistema linear pode ser representado:
AX=B

m=n

•
A solução desta matriz quadrada pode ser calculada de duas maneiras, usando o Matlab,
Por AX=B, então

Sendo um método direto, pois multiplica a inversa pelo vetor B. Porém, o número de cálculos envolvendo a determinação da inversa, gera erros de arredondamento. Ou pelo operador matricial de divisão à esquerda,

•
Questão 2
Calcular a solução do sistema, usando o MATLAB.

Notação matricial, temos:
AX=B

•
A solução desta matriz quadrada pode ser calculada de duas maneiras, usando o MATLAB.
Por, Ax=B, então
X=A-1 B
>> X= inv(A)xb
Sendo um método direto, pois multiplica a inversa pelo vetor B. Porém, o número de cálculos envolvendo a determinação da inversa, gera erros de arredondamento. >>x=A\B

A segunda maneira utiliza fatoração L.U. É a mais recomendável, porque requer menos multiplicações e divisões e, consequentemente, é a mais rápida.
Além disso, é mais precisa se o problema for grande.

Esta fatoração consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em seu produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver a sequência de sistemas linear que nos conduzirá à solução do sistema.

Decomposição LU
Esta decomposição consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver a sequência que nos conduzirá a solução do sistema.

•

Teorema
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, seja AK a matriz constituída de K linhas e colunas de A. Suponha que det(A) ≠ 0 para K=1, 2, ..., (n - 1). Então, existe uma única matriz triangular inferior , e uma única matriz triangular superior tais que . Ainda mais, det(A)=
A =L U

Reescrevendo, temos:
LU x =b
Desmembrando os dois sistemas temos:
LY=b e Ux=Y
Vetor solução

Onde:

•
Questão 3
Resolva o sistema linear por fatoração L U

•Resolução: Etapa 1:
Pivô= a11=1
Multiplicadores:

Etapa
• 2 Pivô=