Atps matematica i

Etapa nº 3 Passo 1

Máximos e Mínimos

A figura abaixo mostra o gráfico de uma função y = f (x), onde assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4.

Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os pontos [pic]e [pic]são pontos de máximo relativos (ou local), enquanto que f([pic]) e f([pic]) são valores máximos relativos. Os pontos [pic] e [pic]são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto que f([pic]) e f([pic]) são os valores mínimos relativos. Além disso, observamos que f é crescente para x < [pic], x [pic] ([pic],[pic]) e x > [pic], e decrescente para x [pic] ([pic] , [pic] ) e x [pic] ([pic],[pic]). A formalização destas definições é apresentada a seguir:

Definição 10.1: Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) [pic] f(x) para todo x [pic] I.

Definição 10.2: Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) [pic] f(x) para todo x [pic] I.

Definição 10.3: Seja f uma função definida em um intervalo I: (i) f é crescente nesse intervalo se, para quaisquer [pic] , [pic] [pic] I tais que [pic] , < [pic][pic] f ([pic])[pic] f ([pic]); (ii) f é decrescente nesse intervalo se, para quaisquer [pic] , [pic] [pic] I tais que [pic] , < [pic] [pic] f ([pic])[pic] f ([pic]);

Exemplo: A função f(x) = [pic] tem um máximo relativo em [pic] = 0, pois existe o intervalo (-2, 2) tal que f(0) = f(x) para todo x [pic] (-2, 2). Em [pic] = - [pic] e [pic] = + [pic] , [pic] tem mínimos relativos pois f (-[pic]) [pic] f(x) para todo x [pic] (-2, 0) e f ([pic] ) [pic] f(x) para todo x[pic] (0, 2). f é crescente nos intervalo ([pic],0) e ([pic]