ATPS de C lculo II Etapa 1 e 2

Velocidade instantânea a partir do limite

Quanto menor é o intervalo de tempo t2 - t1, mais precisa é a descrição dada pela velocidade média. Se o tempo for de dez anos, alguém podería conhecer o mundo todo antes de voltar para casa nesse período (e ia parecer que à velocidade média que ele quase não se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pessoa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva a desejar a formulação do conceito de "velocidade instantânea", ou seja, algo análogo à velocidade média, mas com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da velocidade, é preciso considerar tempos cada vez menores, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1. Assim, usamos a operação matemática conhecida como "limite": a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende a t1.

Segue abaixo um exemplo de um gráfico de uma função velocidade V(m/s) em função do tempo(s).

Tempo(T)
Velocidade(V)
0
3
1
24
2
45
3
66
4
87
5
108

Portanto a função do 1° grau V(T) = 21T +3 é a função da velocidade V(m/s) sobre o tempo T(s).

Segue abaixo o gráfico da função espaço S(m) sobre o tempo T(s).

Tempo(T)
Espaço(S)
0
1
1
14,5
2
49
3
104,5
4
181
5
278,5

Portanto a função do 2° grau S(T) = 10,5T2 + 3T + 1 é a função do espaço S(m) sobre o tempo T(s):

Segue abaixo o gráfico da função aceleração a(m/s²) sobre o tempo T(s).

Tempo(T)
Aceleração(a)
0
21
1
21
2
21
3
21
4
21
5
21

Portanto a função constante a(T) = 21 é a função da aceleração a(m/s²) sobre o tempo T(s).

Constante de Euler

Dada a sequência, , se n cresce para mais infinito qual será o valor convergente de e, para isso podemos calcular o limite dessa função quando n cresce, para alguns valores de n.
Portanto:

Segue abaixo o gráfico do crescimento populacional de uma colônia de vírus em um determinado ambiente em função do tempo, observando oque ocorre a cada 4 horas, sendo que após 48 horas haverá 829 vírus.

Tempo
N° de vírus
0
1
4
2
8
3
12
5
16
9
20
16
24