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LISTA DE ESFERAS - 2011 - GABARITO

1. Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de [pic].

Solução. Utilizando a fórmula da área e do volume, temos:

[pic].

2. Uma bola de borracha, com 13 cm de raio, flutua sobre a água de uma piscina, afundando 1cm na mesma. Determine o raio da circunferência definida na superfície da água.

Solução. A ilustração, fora de proporção, mostra a situação. O raio pedido é o da secção determinada pelo plano da água que divide a esfera nas partes submersas e emersas. A vista frontal mostra um triângulo retângulo de hipotenusa 13 e cateto 12.

Logo, [pic].

3. Um reservatório tem a forma de um hemisfério. Se para pintar o piso gastaram-se 15 galões de tinta, quantos galões são necessários para pintar o restante da superfície interna?

Solução. A superfície total do reservatório é formada pela semi-esfera interna e o piso, que é uma circunferência de mesmo raio. Logo a área da semi-esfera vale 2пr2, isto é, o dobro da área do piso:

[pic].

4. Um plano secciona uma esfera, determinando um círculo de [pic] de área. Determine o raio da esfera, sabendo que o plano dista 3 cm do centro da esfera.

Solução. O raio da secção é determinado pela área indicada:

[pic].

O raio da esfera é determinado pela relação de Pitágoras:

[pic].

5. (FGV) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α de 72º, como mostra a figura. Calcule a área do fuso esférico determinado por α.

Solução. A área é calculada pela regra de três em relação à área de toda a esfera:

[pic].

6. (UNAERP-SP) Determine o volume de uma cunha esférica, fabricada a partir de uma esfera de 6m de diâmetro e um ângulo diedro de 36º.

Solução. O volume é calculado pela regra de três em relação ao volume de toda a esfera:

[pic].
7. (UFPE) Um triângulo eqüilátero tem lado [pic] e é a base de um prisma reto de altura 48 cm. Calcule o raio da maior esfera contida neste prisma.