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´ Calculo Diferencial Integral 2 – CD22NB
D´cima segunda lista de exerc´ e ıcios - Regra da Cadeia, Derivacao ¸˜ ´ ´ximos e M´ ˜ es) implıcita, Derivadas direcionais, Ma ınimos (Aplicaco ¸ Prof. Gilberto Souto 1. Use a Regra da Cadeia para determinar dw/dt. (a) w = x2 y + xy 2 , (b) w = sen x cos y, (c) w = ln x = 2 + t4 , x = e2t , y = 1 − t3 y = e−2t y = cos t, z = tg t

x2 + y 2 + z 2 ,

x = sen t,

2. Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t. (a) z = x2 y 3, (b) z = ex+2y , (c) z = er cos θ, (d) z = tg ( u ), v x = s cos t, x = s, t r = st, y= y = s sen t t s

θ=

√

s2 + t2

u = 2s + 3t,

v = 3s − 2t

3. Um lado de um triˆngulo est´ aumentando a uma taxa de 3cm/s e um segundo lado est´ decrescendo a a a a uma taxa de 2cm/s. Se a ´rea do triˆngulo permanece constante, a que taxa varia o ˆngulo entre os a a a lados quando o primeiro lado tem 20cm de comprimento, o segundo lado tem 30cm de comprimento e o ˆngulo ´ π/6? a e

ca 4. Determine a derivada direcional de f (x, y, z) = xy + yz + zx em P (1, −1, 3) na dire¸˜o de Q(2, 4, 5).

5. A temperatura T em uma bola de metal ´ inversamente proporcional ` distˆncia do centro da bola, e a a que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) ´ de 120o. e (a) Determine a taxa de varia¸˜o de T em (1, 2, 2) em dire¸˜o ao ponto (2, 1, 3). ca ca (b) Mostre que em qualquer ponto da bola a dire¸˜o de maior crescimento na temperatura ´ dada ca e por um vetor que aponta para a origem. 6. Determine os valores m´ximos e m´ a ınimos locais e pontos de sela da fun¸˜o. ca (a) f (x, y) = 9 − 2x + 4y − x2 − 4y 2 (b) f (x, y) = x3 y + 12x2 − 8y (c) f (x, y) = y cos x (d) f (x, y) = (x2 + y 2)ey
2 −x2

7. Determine os valores m´ximo e m´ a ınimo absolutos de f no conjunto compacto D. (a) f (x, y) = 1 + 4x − 5y, D ´ a regi˜o triangular fechada com v´rtices (0,0), (2,0) e (0,3). e a e (b) f (x, y) = 3 + xy − x − 2y, D ´ a regi˜o triangular fechada com v´rtices (1,0), (5,0) e (1,4). e a e