AP3_Matematica Para Computacao_2013 2_Gabarito 1

Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Computa¸c˜ ao Disciplina: Matem´ atica para Computa¸c˜ ao o
AP3 - 2 semestre de 2013 — Gabarito

Quest˜ oes 1. (2,5 pontos) —————————————————————————————————
Calcule os limites a seguir:
(a)

lim

x→+∞

(b)

lim

x→+∞

3x2 + 5x − 8
7x2 − 2x + 1 ln x x Solu¸ c˜ ao:
(a)

lim

x→+∞

3x2 + 5x − 8
7x2 − 2x + 1

+∞
−→ Regra de L’Hˆopital
+∞
lim

x→+∞

3x2 + 5x − 8
6x + 5
=
lim x→+∞ 14x − 2
7x2 − 2x + 1

que tamb´em ´e uma indetermina¸c˜ao do tipo +∞/ + ∞, podemos aplicar novamente a regra de L’Hˆopital lim x→+∞

3x2 + 5x − 8
6x + 5
= lim
2
x→+∞ 14x − 2
7x − 2x + 1

lim

x→+∞

6
6
=
14
14

(b)

ln x x lim

x→+∞

+∞
−→ Regra de L’Hˆopital
+∞
ln x
1/x
1
= lim
= lim
=0
x→+∞ x→+∞ x x 1

Novamente temos lim x→+∞

2. (2,5 pontos) —————————————————————————————————
Analise onde a fun¸c˜ao ´e crescente ou decrescente e ache os pontos de m´aximo e m´ınimo relativos da seguinte fun¸c˜ao f(x) = x3 + 6x2 − 7
Solu¸
c˜ ao: Vamos verificar a inclina¸c˜ao da curva e os pontos extremos locais f (x) = 0 =⇒ 3x2 + 12x = 0 =⇒ 3x(x + 4) = 0
Portanto, os pontos aonde a derivada se anula s˜ao x = 0 e x = −4. Vamos agora verificar o sinal da primeira derivada em torno desses pontos. O diagrama a seguir indica o sinal da primeira derivada na regi˜ao de interesse. sinal de
+

f (x)
+

0

−

−

−

−

−

−

−

0

+

+

+

+

IR
✲

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

Desta forma verificamos que o ponto (x, y) = (−4, 25) ´e um ponto de m´aximo e que o ponto (x, y) = (0, −7) ´e um ponto de m´ınimo. Al´em disso, f ´e crescente em (−∞, −4) e
(0, ∞) e ´e decrescente em (−4, 0).
3. (2,5 pontos) —————————————————————————————————
Se f(x) = x4 + 2, determine o volume do s´olido gerado pela revolu¸c˜ao, em torno do eixo x, da regi˜ao sob o gr´afico de f(x) entre x = 1 e x = 2.
Solu¸
c˜ ao 2

V

=

1

= π

π(x4 + 2)2 dx
2
1

(x8 + 4x4 + 4) dx

= π 91 x9 + 45 x5 + 4x
= π

2
1

512 + 32 + 4 − 1 + 1 + 4
9
5
9 5

− 5 − 9 − 180
= π 2560 + 288 + 180
45
= π 2834
45

4. (2,5