AP1 Métodos Deterministicos

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Primeira Avaliação Presencial de Métodos Determinísticos II
1º Semestre de 2012
Resoluções
1ª Questão (1,5 pt): Determine a função inversa da função bijetora f : IR − {2} → IR − {3}, tal que
3x − 1
.
f ( x) = x−2 3x − 1
, façamos uma troca entre as variáveis y e x, obtendo a x−2 Resolução:

Considerando que y =

equação x =

3y −1
. Assim, temos que: y−2 3y −1
⇔ x ( y − 2) = 3 y − 1 ⇔ xy − 2 x = 3 y − 1 ⇔ xy − 3 y = 2 x − 1 ⇔ y ( x − 3) = 2 x − 1 y−2 2x −1
⇔ y= x−3 2x − 1
Portanto, f −1 : IR − {3} → IR − {2}, tal que f −1 ( x) =
.
x−3 x= Considere as funções reais f e g cujas leis de formação são f ( x) = 4 2 x+1 e g ( x) = log x+1 ( x 2 + 2 x) , respectivamente.
a) Determine o domínio da função g.
 g (3) − 1 
b) Calcule f 
.
 2 

2ª Questão (2,0 pts):

Resolução:
a) Consideremos um número real x, tal que para que exista um número real y, tal que y = g ( x) = log x+1 ( x 2 + 2 x) , as seguintes condições devem ser satisfeitas:
* x + 1 ≠ 1 , sendo que x + 1 ≠ 1 se, e somente se, x ≠ 0 ;
* x + 1 ≠ 0 , sendo que x + 1 ≠ 0 se, e somente se, x ≠ −1 ; e
* x 2 + 2 x = x ( x + 2) > 0
Façamos o estudo de sinais para a expressão x(x + 2):

1

-

-

+
°
0

-

x

+
+
° x+2 + -2
+
°
°
x (x + 2)
-2
0
Assim, x 2 + 2 x = x( x + 2) > 0 se, e somente se, x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞ )
Resumindo as três condições, temos que Dom(g) = (−∞,−2) ∪ (0,+∞)

(

)

 log 3+1 (32 + 2.3) − 1 
 g (3) − 1 

= f
b) f 



2
 2 


 (log 4 15) − 1 
= f

2


 (log 4 15 )−1 
2
+1
2



=4
= 4((log4 15 )−1)+1
= 4 log4 15
= 15 .

3ª Questão (2,0 pts) Determine os seguintes limites:

a) lim x→−1

x3 + 1 x +1

b) lim x→+∞

2 x 4 + 3x x5 + 4

Resolução:

a) Observe que lim x→−1 x + 1 = 0 e lim x→−1 x