AP1 Métodos Determinísticos

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˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
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Gabarito da AP1 de M´ etodos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2012

Quest˜ ao 1: (2,0pts) Seja f : R − {2} −→ R − {−1} dada pela express˜ ao f (x) = express˜ ao de f −1 e tamb´em o dom´ınio e a imagem de f −1 .

3−x x−2 .

Encontre a

Solu¸ c˜ ao: (se trocou x por y e montou a equa¸c˜ao ganha 0,5pt) Para calcular a inversa vamos adotar o procedimento de chamar x de y na express˜ ao da fun¸c˜ao e igualar a x e tentar isolar y. x= 3−y
⇔ xy − 2x = 3 − y y−2 ⇔ xy + y = 2x + 3
2x + 3
.
⇔y= x+1 E portanto, f −1 : R − {−1} −→ R − {2} tem como f´ormula f −1 (x) = 2x+3 x+1 . (se encontrou a
−1
express˜ ao correta de f (x) ganha 1,0pt e se deixou claro qual ´e o dom´ınio e a imagem de f −1 (x) ganha 0,5pt).
Quest˜
ao 2: (2,0pts) Considere f (x) = 73x−2 e g(x) = logx+2 (x2 − 2x − 8).
a) Determine o dom´ınio da fun¸c˜ ao g(x).
2g(5)+2
b) Calcule f
.
3
Solu¸
c˜ ao: a) (vale 1,5pt) Se x ´e real, para que exista um n´ umero real y, tal que y = logx+2 (x2 −2x−8), as seguintes condi¸c˜ oes devem ser satisfeitas:
• x + 2 = 1 se, e somente se, x = −1;
• x + 2 > 0 se, e somente se, x > −2; e
• x2 − 2x − 8 > 0

(fez corretamente at´e aqui vale 1,0pt) Fa¸camos o estudo dos sinais da express˜ ao x2 − 2x − 8 =
(x + 2)(x − 4):
− −2

+

4

+

x+2

− −2

−

4

+

x−4

+ −2

−

4

+

(x + 2)(x − 4)

Portanto, x2 − 2x − 8 > 0 se, e somente se, x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, +∞).
1

E o dom´ınio de g ´e {x ∈ R : x > 4}. (concluiu corretamente vale 0,5pt restantes deste item)
b) (vale 0,5pt) Vamos fazer a conta
2g(5) + 2
3

f

Quest˜ ao 3: (2,0pts) Calcule

1 a log

√

b c a

2 log7 (7) + 2
3
2+2
=f
3
4
= 7(3( 3 )−2) = 72 = 49.

=f

, sabendo que log(a) = 6 e log(c) = −2.

Solu¸ c˜ ao: (vale 2,0pt,