AP1 GAI 2014 2 Gabarito

Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

Gabarito - AP1 – Geometria Anal´ıtica I – 2014.2
Quest˜
ao 1 (2,0 pontos): Sejam P = (1, 3) e Q = (−1, 2) pontos do plano.
(a) Encontre a equa¸ca˜o cartesiana da reta r1 que passa pelos pontos P e Q. Fa¸ca um esbo¸co de r1 .
(b) Encontre as equa¸c˜oes param´etricas da reta r2 que ´e perpendicular `a reta r1 e passa pelo ponto R = (2, 3). Fa¸ca um esbo¸co de r2 .
Solu¸ca˜o:
−→
(a) Como o vetor P Q = (−2, −1) ´e paralelo `a reta r1 , temos que (1, −2) ´e perpendicular a r1 .
Assim, r1 possui a seguinte forma: x − 2y = d, para algum d ∈ R. Como P = (1, 3) ∈ r1 , podemos calcular o valor de d da seguinte maneira:
1 · 1 − 2 · 3 = d ⇐⇒ d = −5.
Assim, conclu´ımos que a equa¸c˜ao cartesiana da reta r1 ´e r1 : x − 2y = −5.
(b) Se (1, −2) ⊥ r1 e r2 ⊥ r1 , ent˜ao (1, −2) r2 :

r2 . Logo,

x=t+2
; t∈R y = −2t + 3

s˜ao as equa¸co˜es param´etricas da reta r2 .

Figure 1: Retas r1 e r2 .

Quest˜ ao 2 (2,5 pontos): Verifique que a equa¸c˜ao 9x2 +y 2 +90x−4y +220 = 0 representa uma elipse, encontre seu centro, focos, v´ertices (sobre os eixos focal e n˜ao focal) e a excentricidade.
Fa¸ca tamb´em o gr´afico da elipse.
Solu¸ca˜o:
Vamos manipular a equa¸ca˜o dada para verificar que ela representa uma elipse:
9x2 + y 2 + 90x − 4y + 220 = 0
⇐⇒ 9(x2 + 10x + 25) + (y 2 − 4y + 4) = −220 + 225 + 4
⇐⇒ 9(x + 5)2 + (y − 2)2 = 9
(y − 2)2
= 1.
⇐⇒ (x + 5)2 +
9
A equa¸ca˜o encontrada acima representa uma elipse centrada no ponto (−5, 2). Al´em disso, a2 = 9 ⇐⇒ a = 3 e b2 = 1 ⇐⇒ b = 1.
Da´ı, como c2 = a2 + b2 , temos que c2 = 8 ⇐⇒ c =

√
8.

Note que os eixos de simetria da elipse s˜ao as retas x = −5 e y = 2. Com estes dados, ´e f´acil ver que os focos da elipse s˜ao os pontos
√
√
F1 = (−5, 2 − 8) e F2 = (−5, 2 + 8), os v´ertices sobre o eixo focal s˜ao
A1 = (−5, 5) e A2 = (−5, 1), os v´ertices sobre o eixo n˜ao focal s˜ao
B1