Analise real l

A nocao de funcao cont´nua
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¸˜ ı Parte 6
Funcoes cont´nuas
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1.

A nocao de funcao cont´nua
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¸˜ ı ´
Definicao 1.1 Dizemos que uma funcao f : X −→ R e cont´nua no ponto
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¸˜ ı a ∈ X, quando para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que |f(x) − f(a)| < ε para todo x ∈ X, |x − a| < ε.
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Simbolicamente, f : X −→ R e cont´nua no ponto a se, e somente ı se:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; x ∈ X , |x − a| < δ =⇒ |f(x) − f(a)| < ε
´
Observacao 1.1 Em termos de intervalos, temos que f e cont´nua no
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ı
´
ponto a se, e so se:
• ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; f(I ∩ X) ⊂ J, onde I = (a − δ, a + δ) e J = (f(a) − ε, f(a) + ε) . ou • Para todo intervalo aberto J contendo f(a) existe um intervalo aberto I contendo a tal que f(I ∩ X) ⊂ J.
´
Definicao 1.2 Dizemos que uma funcao f : X −→ R e cont´nua quando
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¸˜ ı ´ e cont´nua em todos os pontos de X. ı ´
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Observacao 1.2 Se a e um ponto isolado de X, entao toda funcao
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f : X −→ R e cont´nua no ponto a. ı De fato, seja δ0 > 0 tal que (a − δ0 , a + δ0 ) ∩ X = {a}.

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Instituto de Matematica - UFF

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Analise na Reta

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Entao, dado ε > 0, existe δ = δ0 > 0, tal que |f(x) − f(a)| < ε para todo x ∈ X ∩ (a − δ0 , a + δ0 ) = {a}.
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˜
Em particular, se todos os pontos de X sao isolados, entao toda funcao
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´ f : X −→ R e cont´nua. ı ˜
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Observacao 1.3 Seja a ∈ X ∩ X . Entao f e cont´nua no ponto a se, e
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ı
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so se, lim f(x) = f(a). x→a ˜
´
Entao, se a ∈ X , temos que lim f(x) = L se, e so se, a funcao
¸˜
x→a

f(x), se x ∈ X − {a} g : X ∪ {a} −→ R dada por g(x) =
L,
se x = a
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e cont´nua no ponto a. ı ´
Observacao 1.4 Sejam Y ⊂ X e f : X −→ R. Se f e cont´nua num ponto
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ı
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a ∈ Y , entao f|Y e cont´nua no ponto a. Mas a rec´proca nao e verdadeira. ı ı
Basta tomar f descont´nua no ponto a e Y ⊂ X finito ou discreto com ı a ∈ Y.
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Exemplo 1.1 Toda funcao f : Z −→ R e cont´nua, pois todo ponto de Z
¸˜
ı
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´ e isolado, ou seja, Z e um conjunto discreto.
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23

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Pela mesma razao, toda funcao f : 1, , , . . . ,
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1
...
n

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−→ R e