AM1 Aulas10V1

AULA 10 - S´eries num´ericas
S´
eries Num´ ericas Defini¸c˜ ao 1:
• Seja (an ) uma sucess˜ao . Chama-se s´erie gerada por (an ) `a express˜ao a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ..., obtida por adi¸c˜ao formal dos seus termos.
• Seja Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an a soma de n termos da s´erie. Uma s´ erie diz-se convergente quando lim Sn = S sendo S um valor finito. No caso do n→∞ limite n˜ ao existir ou ser infinito, a s´erie diz-se divergente.
Exemplo 1:
Calcular a soma das s´eries:
∞

a) n=2 1 n (n − 1)

R. Pereira,V. Mariano (DMA, UM)

∞

b) n=1 1 n2 + n

∞

c) n=2 C´ alculo 1 n2 + n − 2

Dezembro 2010

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Resolu¸c˜ao:
∞

a) n=2 1 n (n − 1)

C.A.:
1
n(n−1)

=

A n +

B n−1 ⇔ 1 = A (n − 1) + Bn

A+B =0
⇔
−A = 1

⇒

∞

logo n=2 1
=
n (n − 1)

B=1
A = −1
∞

n=2

1
1
− n−1 n

= 1−

S = lim Sn = 1 n→+∞ R. Pereira,V. Mariano (DMA, UM)

1
2

+

1
2

+ ...
−

1
3

+

1
3

−

1
4

+ ··· +

1 n−1 −

1 n + ...

logo a s´erie ´e convergente.

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Teorema 1:

∞

Se a s´erie

an ´e convergente ent˜ao lim an = 0. n=1 Demonstra¸c˜ao em ”Calculus - Robert A. Adams”
Teste da divergˆ encia: ∞

Seja a s´erie

∞

an . Se lim an = 0 ent˜ao a s´erie n=1 n→+∞

an ´e divergente. n=1 Exemplo 2: Estude a convergˆencia das seguintes s´eries:
∞

a) n=1 4 + n + 5n3 n3 + 3

R. Pereira,V. Mariano (DMA, UM)

∞

b) n=1 sen( n1 )
1
n

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Resolu¸c˜ao:
∞

a) n=1 4 + n + 5n3 n3 + 3
4 + n + 5n3
=5=0
n→+∞ n3 + 3

lim an = lim

n→+∞

∞

logo n=1 4 + n + 5n3
´e divergente. n3 + 3

S´ erie Geom´ etrica: Se somarmos todos os termos de uma progress˜ao geom´etrica, obt´em-se uma s´erie num´erica: ∞
2

3

ar k−1

n

a + ar + ar + ar + ... + ar + ... = k=1 R. Pereira,V. Mariano (DMA, UM)

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Para calcular a soma dos n primeiros termos de uma progress˜ao geom´etrica, utiliza-se a seguinte express˜ao: n ar k−1 = a

Sn = k=1 1 −