Ad1AlgebraLinear

Curso de Tecnologia em Sistemas de Computa¸ca˜o
´
Disciplina : Algebra
Linear
AD1 - Primeiro Semestre de 2006
Professores: M´arcia Fampa & Mauro Rincon
Nome Assinatura -

1

1.(5.0) O item (g) vale 1.0 ponto e o restante valem 0.5 ponto cada.
Considere a matriz formada pelos vetores colunas:


A = [v1 , v2 , v3 ] =








2 −1 3
1
1 0 


4
3 1 
1
0 1

(a) Calcule o m´odulo (comprimento) de cada vetor da matriz A.
(b) A partir dos vetores vi ∈ A, determine uma matriz U cujos vetores colunas ui , i = 1, 2, 3 s˜ao unit´arios.
(c) Calcule a distˆancia d(v1 , v2 ) = |v1 − v2 |
(d) Verifique se existem vetores de A, dois a dois, que s˜ao ortogonais ou paralelos.
(e) Calcule o ˆangulo formado pelos vetores {v2 , v3 } de A.
(f) Mostre que o conjunto de vetores {v1 , v2 , v3 } s˜ao linearmente dependentes (LD).
(g) Seja V = IR4 . Mostre que S ´e um subespa¸co vetorial de V gerado pelo conjunto de vetores {v1 , v2 , v3 } se e somente se
S = (x, y, z, w) ∈ IR4 ; z = (x + 10y)/3 ∧ w = (x + y)/3 e determine uma base B para S.
(h) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base
B, uma base ortogonal de S.
(i) Determine a partir de B uma base ortonormal de S.
2.(1.0) Determinar os subespa¸cos de P2 (espa¸co vetorial dos polinˆomios de grau
≤ 2) gerados pelos seguintes vetores:
2 + 2x, 3 + x − x2 , 2x + x2 e verifique se os vetores s˜ao LI ou LD.
3.(1.0) Prove que se u e v s˜ao vetores LI ent˜ao u+v e u-v tamb´em o s˜ao.

2

4.(1.0) Seja V = M3×2 um espa¸co vetorial das matrizes reais e S ⊂ V um subconjunto definido por:



a −a

 b 
S =  −b
,







onde a, b, c ∈ IR .

c −c




Mostre que S ´e um subespa¸co vetorial de V .
5.(2.0) Considere o seguinte sistema linear:


 2x1



3x1 x1 + 4x2 + 6x3 = −6
− 2x2 − 4x3 = −38
+ 2x2 + 3x3 = −3

a.(1.0) Resolva-o, se poss´ıvel, m´etodo de Gauss-Jordan.
b.(1.0) O que podemos afirmar se substituirmos somente a terceira componente do vetor dos termos independentes b = (−6, −38, −3) pelo vetor