AD1 Metdet Ii 2014 2 Gabarito 1

Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸ca
˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

M´ etodos Determin´ısticos II
Gabarito da Avalia¸c˜ao `a Distˆancia 1
Quest˜
ao 1: (2,0pts) Considere as fun¸c˜oes f e g definidas por x2 + 4x − 5 e 4x − 5. Determine:
a) As leis que definem f ◦ g e g ◦ f e o valor de (g ◦ f )(2). .
b) Os valores do dom´ınio da fun¸c˜ao (f ◦ g) que tˆem imagem 7.
Solu¸
c˜ ao: (Cada um dos itens vale 1,0pt)
a)
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = (4x − 5)2 + 4(4x − 5) − 5 = 16x2 − 20x + 25 + 16x − 20 − 5 = 16x2 − 24x,
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = 4(x2 + 4x − 5) − 5 = 4x2 + 16x − 25, e g(f (2)) = 23.
b) queremos determinar os valores x tais que (f ◦ g)(x) = 7 ⇔ 16x2 − 24x = 7 resolvendo usando a f´ ormula para encontrar as solu¸c˜oes obtemos x = − 41 e x = 74 .
Quest˜
ao 2: (1,5pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f ) ⊂ D(g); em seguida, construa a composta h(x) = (g ◦ f )(x).
√
A) g(x) = x2 − x − 6 e f : A → R, f (x) = x − 2;
√
B) g(x) = x2 − 9 e f : A → R, f (x) = x − 2.
Solu¸
c˜ ao: (O item A) vale 1,0pt e o item B) 0,5pt)
A) Precisamos determinar os valores de x tais que x2 −x−6 ≥ 0. Observe que x2 −x−6 = (x+2)(x−3) logo os valores x devem ser tais que ou x ≤ −2 ou x ≥ 3 logo como f (x) pega um valor x e retorna x − 2, logo A = {x ∈ R : x ≤ 0 ou x ≥ 5}.
B) Precisamos determinar os valores de x tais que x2 − 9 ≥ 0. Observe que x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) logo os valores de x devem ser que ou x ≤ −3 ou x ≥ 3 e da´ı
A = {x ∈ R : x ≤ −1 ou x ≥ 5}
Quest˜
ao 3: (2,5pts) Considere a fun¸c˜ao Real f definida por f (x) = 3 + 2x−1 , sendo g de A em
R a sua inversa. Considere tamb´em as seguintes afirma¸c˜oes e verifique se s˜ao falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
i) a imagem de f ´e A. ii) o gr´afico de f est´a acima da reta y = 4. iii) g(11/2) = log2 5. iv) Se f (h(x)) = 3 + 2x ent˜ao h(1/4) = 0.
v) O gr´afico da fun¸c˜ao g intercepta o eixo x no ponto (1, 0).
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