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Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT

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O Teorema da Função Inversa e da Função
Implícita
Prof. Doherty Andrade
Universidade Estadual de Maringá
Departamento de Matemática - 87020-900 Maringá-PR, Brazil

Sumário

1. Teorema da Função Inversa
2. Teorema da Função Implícita
1.

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Teorema da Função Inversa

O Teorema da função Inversa é um importante resultado que trata da possibilidade de inverter uma função, mesmo que localmente.
O teorema também fala das propriedades de diferenciabilidade da inversa. O Teorema da Função Inversa diz basicamente que se f (x0 ) é invertível, então f é invertível numa vizinhança de x0 .

Este critério usa o determinante da matriz Jacobiana da função, como veremos mais adiante.
Antes de enunciarmos este importante teorema vamos precisar de alguns conceitos.

Prof. Doherty Andrade

2

Denição 1 Seja U ⊂ Rm um aberto. Dizemos que f : U ⊂
∂fi
,
∂xj
i = 1, 2, . . . , n e j = 1, 2, . . . , m existem e são contínuas em U .
Rm → Rn é de classe C 1 em U se as derivadas parciais

Denição 2 Sejam U e V abertos do Rn e f : U → V uma bijeção. Dizemos que f é um difeomorsmo se f e f −1 são diferenciáveis. Dizemos que f é um difeomorsmo de classe C 1 se f e f −1 são de classe C 1 .
Dois fatos óbvios:
• A composta de difeormorsmos é um difeomorsmo.
• A inversa de um difeomorsmo é um difeomorsmo.

Notemos que se f : U → V é um difeomorsmo, então f (x) :
Rn → Rn , é um isomorsmo, para todo x ∈ U e
−1

[f (x)]

= f −1 (f (x)).

De fato, IdU (x) = f −1 ◦ f (x) segue que h = (f −1 ) (f (x)).f (x)h,

isto é,
−1

[f (x)]

= f −1 (f (x)).

Denição 3 Seja U ⊂ Rn um aberto e f : U → Rn uma aplicação. Dizemos que f é um difeomorsmo local se para cada x ∈ U , existe um aberto Vx

x e um aberto Wf (x) tal que f : Vx → Wf (x)

seja um