34587680989

No campo da álgebra linear, o teorema de Laplace, assim denominado em homenagem ao matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema matemático utilizado para simplificar o cálculo de determinantes em matriz quadrada, proporcionando a possibilidade de decompô-lo em números menores. Determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada; de modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antepondo a matriz o símbolo "det".
Para aplicar o teorema de Laplace é necessário escolher uma fila (linha ou coluna da matriz), adicionando desse modo os produtos dos elementos desta fila ao cofatores correspondentes. O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 será obtido pela igualdade da soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
Determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada
Desta forma, fixando , tal que , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice , variando de 1 até , .
Através do desenvolvimento do teorema de Laplace podemos desenvolver o determinante n X n-matriz depois de uma linha ou coluna. Assim, a seguir, teremos duas fórmulas.
O primeiro teorema de Laplace afirma que "o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer linha de seus complementos algébricos".

para toda a linha.
Da mesma forma, o segundo teorema de Laplace afirma que "o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer coluna para o seu complemento algébrico".
Assim, através da fórmula,

para qualquer coluna j
Conclui-se a partir daí que:
a) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos valores na diagonal.
b) O determinante de uma matriz triangular é ainda o produto da diagonal.
c) Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos na diagonal.
Um caso concreto de aplicação do Teorema de Laplace refere-se ao produto vetorial partindo de dois vetores "u" e "v":

temos então o