22_08_2014__10_04_51metodos_numericos_interpolacao_polinomial_alu

INTERPOLAÇÃO
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas condições (propriedades).
A substituição é necessária por alguns motivos tais como:
-Conhecemos somente os valores numéricos da função e necessitamos calcular um valor dessa função num ponto não tabelado.
-A função em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação são difíceis de serem realizadas. y
P(x
) f(x) x a = x0

x2

x1

x3

xn = b

Aproximação de uma função conhecida em n +1 pontos. MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DO POLINÔMIO INTERPOLADOR
RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR
Exemplos
1) Encontrar o polinômio de grau  2que interpole os dados da tabela: x f(x)

–1
4

0
1

2
–1

Neste caso temos: p2(x) = a0 + a1x + a2x2
2) Determinar o polinômio que aproxima os pontos da tabela: x f(x)

1
3

2
6

3
13

Temos: p2(x) = a0 + a1x + a2x2
3) Obter o polinômio P3(x) que interpola f(x) nos pontos x0, x1, x2, x3, de acordo com a tabela abaixo: i 0
1
2
3
xi
0,1
0,2
0,3
0,4 f(xi) 3,721 3,488 3,307 3,184
Temos: p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
MÉTODO DE LAGRANGE
Sejam x0, x1, x2...xn, (n +1) pontos distintos e ji = f(xi), i = 0, 1, 2,...,n.
Seja Pn(x), o polinômio de grau ≤ n que interpola f em x0, x1, x2,...,xn. Podemos representar o polinômio Pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) +y2L2(x) + ... + ynLn(x), onde Lk(x) são polinômios de grau ≤ n para cada i, será satisfeita a condição Pn(xi) = yi.

L0 ( x)  ( x  x1 )  ( x  x2 )  ( x  x3 )...(x  xn )
L ( x)  ( x  x )  ( x  x )  ( x  x )...(x  x )
0
2
3
n
 1
L2 ( x)  ( x  x0 )  ( x  x1 )  ( x  x3 )...(x  xn )


.
.

Ln ( x)  ( x  x0 )  ( x  x1 )  ( x  x2 )...(x  xn1 )

Pn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) +y2L2(xi) + ... + ynLn(xi) = yi onde Lk ( x) 

x  x0 x  x1 ...(x  xk 1 )( x  xk 1 )...(x  xn )
xk  x0 xk  x1