2 Lista Volume

CURSOS DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
APLICAÇÃO INTEGRAL DEFINIDA: VOLUME POR ROTAÇÃO

2ª LISTA DE EXERCICIOS

CAMPUS UBERLÂNDIA

PROFESSOR : NEIO LUCIO S FERREIRA

Volume de Sólidos de Revolução
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido:
a)

A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada.
Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)

Sólidos de Revolução - Método do Disco
Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira:
Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R.
Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução.
S
R

l

l
Área plana 1

Sólido gerado pela Rotação.

Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:

y

y = f(x) a b

r=f(x)=y

dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx

x

b

V = π ∫ [f ( x )]2 dx a Área plana 2

Cálculo do elemento de volume

Exercícios
1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

y

(2,8)

(2,8)

y = x3
(1,1)
(1,1)

r

R

x
1

2

x

Área plana 3
Elemento de volume

2) Achar o volume gerado pela função f(x) =

y y= -a
Semi-círculo em rotação

a

a 2 − x 2 em [-a, a] a2 − x2 = r

x
Sólido gerado pela rotação do semi-círculo 3) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

y

y
4

y = x2

0

2

x= y

x

x

Sólido gerado pela Parábola de revolução

4) Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação da região entre y = x2 e y
= x + 2. y y
(2,4)
y = x +2
(-1,1)

R

x x Área entre parábola e reta em revolução.
Sólido de revolução

5) Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x = 6. R é limitada pelos gráficos de y2 = 4x e x = 4.