17405 Construcoes Geometricas Aula12a22 Volume02

Aula 12 – Quadril´ateros I

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MODULO
2 - AULA 12

Aula 12 – Quadril´ ateros I
Objetivos
Construir quadrados, retˆangulos e losangos utilizando suas principais propriedades e recursos de constru¸co˜es de triˆangulos.
A constru¸ca˜o de quadril´ateros vai recair de forma natural na constru¸ca˜o de triˆangulos, basta lembrar que sua diagonal o divide em dois triˆangulos.
Problema 1: Construir um quadrado sendo dado um lado.
Resolu¸ca˜o:
Seja o lado AB dado do quadrado.
1.1 Pela extremidade A do lado tra¸car uma perpendicular ao lado;
1.2 Com centro em A e raio AB constr´oi-se uma circunferˆencia que intercepta a perpendicular em um ponto C;
1.3 Com centro em C, e logo a seguir com centro em B, constr´oi-se duas circunferˆencias de raios AB, que se interceptar˜ao nos pontos A e D;
1.4 O quadril´atero ABDC ´e um quadrado.

C

D

O

A

B

Figura 1
Justificativa: Note que os triˆangulos ABC e BDC s˜ao congruentes pelo caso
L.L.L., e s˜ao triˆangulos retˆangulos is´osceles. Logo os lados do quadril´atero
ABDC s˜ao iguais e seus aˆngulos internos s˜ao retos.
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CEDERJ

Aula 12 – Quadril´ateros I

Sabe-se, pela Geometria B´asica, que o ap´otema de um pol´ıgono regular
´e o segmento cujos extremos s˜ao o centro do pol´ıgono regular e o ponto m´edio de um lado. No caso de um quadrado, o ap´otema tem a medida que corresponde a m´etade do lado.
Exerc´ıcios:
1. Construir um quadrado sabendo que seu ap´otema tem medida a dada pelo segmento abaixo. a Figura 2
2. Construir um quadrado sabendo que sua diagonal tem medida d dada pelo segmento abaixo. d Figura 3

Problema 2: Construir um quadrado conhecendo a soma da diagonal com o lado. Indiquemos por L o lado do quadrado, por d sua diagonal e por s =
L + d. Assim, temos pelo Teorema de Pit´agoras que:
√
√
√
s d=L 2 √ d = s − L ⇒ L 2 = s − L ⇒ L( 2 + 1) = s ⇒ L = √
= s 2 − s.
2+1
Da´ı o lado do quadrado procurado ´e a diferen¸ca entre a diagonal de um quadrado cujo lado ´e s e este lado s.
Resolu¸ca˜o:
Seja o lado AB a soma da