02 Limites P1

Cálculo Diferencial e Integral I
Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU

Prof. Dr. Sergio Pilling

Parte 1 - Limites
Definição e propriedades; Obtendo limites; Limites laterais.

1) Introdução
O conceito de limite é uma das idéias que distinguem o calculo da álgebra e da trigonometria.
Veremos nessa aula como definir e calcular os limites de funções. A maioria dos limites pode ser obtida por substituição, analise gráfica, aproximação numérica, álgebra ou alguma combinação dessas.
A noção de limite nos fornece um caminho preciso para verificar como as funções variam continuamente. Também usamos limites para definir retas tangentes à gráficos de funções e posteriormente a derivada de uma função. A derivada que veremos adiante, fornece um caminho para quantificar a taxa a que valores de uma função variam a cada instante.

2) Taxas de variação e limites
Exemplo 1. Uma pedra se desprende do topo de um penhasco. Qual é sua velocidade média durante os primeiros 2 segundos de queda?
Solução: Experimentalmente temos que y= 4,9 t2
Pela definição de velocidade media v =

Δy 4,9( 2) 2 − 4,9(0) 2
=
= 9,8 m / s
Δt
2−0

Qual a velocidade da pedra no instante t=2 segundos?
Solução: Podemos calcular a velocidade média da pedra ao longo do percurso desde t=2 até qualquer tempo posterior t=2+h, h>0
Δy 4,9( 2 + h ) − 4,9( 2)
=
Δt h 2

2

O padrão que vemos na tabela nos diz que quando h → 0 (h tende 0) a velocidade média se aproxima do vallor limite 19,6 m/s

Algebricamente temos ainda que:
Δy 4,9( 2 + h ) 2 − 4,9( 2) 2 4,9( 4 + 4h + h 2 ) − 19,6
=
=
Δt
h h 2
19,6h + 4,9h
=
= 19,6 + 4,9h h Logo quando h → 0 temos que

A partir da expressão ao lado podemos construir a tabela:
Δy
(m/s) h(s) v=
Δt

1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
.
.
0

24,5
20,09
19,649
19,6049
19,60049
19,600049
.
.
indefinido (0/0)

Δy
= 19,6 m / s
Δt

Cálculo Diferencial e Integral I: Introdução ao uso de Limites

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3) Taxa de variação e reta secante.
Δy

Seja y =f(x) , a taxa de variação média