02_-_Equação_diferencial,_Transformada_de_Laplace_e_Equações_de_Estado

II.
EQUAÇÃO
DIFERENCIAL,
TRANSFORMADA
LAPLACE E EQUAÇÕES DE ESTADO
II.1

DE

EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR

Abaixo é mostrada uma equação diferencial linear com coeficientes reais e constantes n

d y dt n

+ a1

d

n −1

y

dt

n −1

+ a2

d

n −2

dt

y

n −2

+…+an −1

dy dt + an y = 0

(2.1)

o qual possui a seguinte equação característica λ + a1λ n n −1

+ a2 λ

n −2

+…+ an −1λ + an = 0

(2.2)

Se a equação característica possui raízes distintas λ1 , λ2 ,… , λn , então (2.1) possui a seguinte solução homogênea y 0 ( t ) = c1e

λ 1t

+ c 2e

λ 2t

+…+c n e

λ nt

(2.3)

onde c1, c2, ..., cn são constantes arbitrárias. Em um problema específico essas constantes são obtidas das condições iniciais dadas dny d n −1 y d n−2 y dy (0), n −1 (0), n − 2 (0),… , (0), y (0) . n dt dt dt dt Se a equação característica possui raízes múltiplas, (2.3) é ligeiramente modificada. Considere a raiz λk de multiplicidade l. Então o termo c k e λ t é k substituído por (ck + ck +1t + ck + 2t 2 + … + ck +l −1t l −1 )eλk t . Se um valor característico(ou raiz) λk = σ + jω é complexo, então seu complexo conjugado λk +1 = σ − jω será também um valor característico, desde que os coeficientes de (2.1) sejam reais. Então a soma dos dois termos ck e λk t + ck +1eλk +1t podem ser escritos como
Ak e

σt

cos(ωt ) + Ak +1e

σt

sin(ωt ) ,

com Ak , Ak +1 reais. Para uma equação diferencial com um termo de excitação no lado direito da equação (2.1), ou seja, dny d n −1 y d n−2 y dy + a1 n −1 + a2 n − 2 + … + an −1 + an y = f (t ) n dt dt dt dt (2.4)

então a solução total é dada por y (t ) = yp (t ) + y0 (t )

(2.5)

8

onde y0(t) é dada em (2.3), e yp(t) é qualquer solução particular conhecida através de
(2.4).
Notamos que se e somente se Re {λk } < 0 para todo k, então será a solução homogênea uma soma limitada por exponenciais decrescentes, e tenderá à