Álgebra

An´is, Corpos e Isomorfismo e Por muito tempo os n´meros foram considerados como entes intuitivos e algumas u de suas propriedades eram tidas como naturais do conjunto, sem necessidade de serem provadas. No entanto, o desenvolvimento da matem´tica a partir do c´lculo diferencial, a a come¸ou a exigir que o conceito de n´mero fosse fundamentado com mais rigor. Esta c u exigˆncia instigou muitos matem´ticos do s´culo XIX a cumprirem tal tarefa. e a e Sabemos que os n´meros inteiros, racionais, reais e complexos podem ser operau dos com n´meros de mesmo tipo e seu resulutado ainda continua sendo do mesmo tipo. u Da mesma maneira podemos operar com matrizes quadradas de mesma dimens˜o, transa forma¸oes lineares entre muitos outros objetos da matem´tica. Estes e outros s˜o exemplos c˜ a a de estruturas alg´bricas com grau de complexidade diferente dos mon´ides e grupos, pois e o n˜o est˜o limitados a apenas uma opera¸ao. Vamos ent˜o conhecer as estruturas conhecia a ` c˜ a das como an´is. e Recordemos que uma opera¸˜o bin´ria ´ uma aplica¸˜o ∗ : A × A → A, que associa ca a e ca a cada par (a, b) ∈ A × A um elemento a ∗ b ∈ A. Um grupo ´ um par (A, ∗), constitu´ e ıdo de um conjunto munido de uma opera¸ao que satisfaz as propriedades associativa, possui c˜ um elemento neutro, um inverso em rela¸˜o ` opera¸˜o. Se a propriedade comutativa for ca a ca satisfeita dizemos que o grupo ´ abeliano. Assim, e Defini¸˜o 0.1. Sejam A um conjunto com pelo menos dois elementos, (+) e (·) duas ca opera¸˜es em A, que chamaremos de adi¸˜o e multiplica¸˜o, respectivamente. A terna co ca ca (A, +, ·) ´ denominada de anel (comutativo), se as seguintes propriedades s˜o satisfeitas: e a
1. (A, +) ´ um grupo abeliano; e 2. A multiplica¸˜o ´ associativa: (a · b) · c = a · (b · c), ∀ a, b, c ∈ A; ca e
3. A multiplica¸˜o ´ comutativa: a · b = b · a, ∀a, b ∈ A; ca e
4. Existe um elemento neutro para multiplica¸˜o: ∃ e ∈ A tal que e · a =