Álgebra Linear

Sistemas Lineares
Fabiano José dos Santos
28 de fevereiro de 2008

1

Matrizes

Muitas vezes é conveniente representar um conjunto de informações na forma de matriz: um arranjo retangular de elementos dispostos em linhas e colunas1 .
• As notas de um aluno, por disciplina, nos respectivos bimestres
Matemática
Primeiro
Segundo
Terceiro
Quarto

Português

Física

Química

Geografia

História

8
6
5
3

5
7
6
4

10
8
3
7

5
4
7
4

9
10
9
6

9
7
10
9

Esta matriz possui 4 linhas e 6 colunas, logo 4 × 6 = 24 elementos.
• O custo e o preço de venda dos produtos em um estoque
Custo (R$)
Caderno
Lápis
Borracha
Caneta

Preço de venda (R$)

8,00
0,50
0,70
1,20

13,00
1,50
2,00
2,50

Esta matriz possui 4 linhas e 2 colunas, logo 4 × 2 = 8 elementos.
Neste texto denotaremos as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos (ou coeficientes) pela mesma letra em minúsculo. Dizemos que uma matriz A com m linhas e n colunas possui ordem m × n (lê-se: m por n) e denotaremos por aij o elemento de A
1

Formalmanete uma matriz é definida da seguinte maneira: considere os conjuntos de números naturais
I = 1, 2, . . . , m

e

J = 1, 2, . . . , n.

Uma matriz real m × n é uma função f : I × J −→ R. As imagens de f são dispostas em um arranjo retangular de m linhas e n colunas, de modo que a imagem f (i, j), geralmente denotada aij , se localize na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna.

1

que se encontra na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna. pode ser representada na forma



a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . .
 a21 a22 . . . a2n 
 a21 a22 . . .



A= .
.
.
.  ou A =  .
.
.
.
.
. 
.
.
 .
 .
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn am1 am2 . . .

Assim, esta matriz a1n a2n
.
.
.




.


amn

Abreviadamente escrevemos A = [aij ]m×n , ou A = (aij )m×n , onde i = 1 . . . m e j = 1 . . . n.
Exemplo 1 Escreva