àlgebra

ÁLGEBRA II
AULA 03 - 08/08/2013 - PLANETA PUC
AULA 04 - 15/08/2013
Propriedades imediatas de um anel A,   
a) A,  é um grupo abeliano.
O elemento neutro 0a é único. O oposto  a de a  A é único. Se a1  a2    an  A, então a1  a2    an   a1   a2     an
Se a  A, então   a  a.
Se a  x  a  y, então x  y (todo a é regular)
A equação a  x  b tem solução única x   a  b, quaisquer que sejam a b  A.
b) Se a  A, então a  0a  0a  a  0a.
Demonstração:

 a  A a  0a  a 

0a  0a  a  0a  a  0a.

Por outro lado, a  0a  0a  a  0a.
Logo, 0a  a  0a  a  0a  a  0a  0a  a  0a, pois a  0a é regular.
0 a  a  0a  0a  a  0a  a  0a  a também.
0 a  a  0a  a  0a, então: 0a  a  0a  a  0a  a  0a  0a  a  0a.
c) Se a b  A então a   b   a  b   a  b
Demonstração:
 a  b é o oposto (inverso aditivo) de a  b. Ele é único, isto é, se x  A é tal que x  a  b  a  b  x  0 a Então x   a  b .
Como a   b  a  b  a   b  b  a  0a  0a e a  b  a   b  a b   b a   b   ab .

a  b

 a  0a  0a, temos que

é o oposto de a  b

Como  a  b  a  b   a  a  b  0a  b  0a e a  b   a  b  a   a

 b  0a  b  0a

Temos também que:  a  b   a  b .
Logo, a   b   a  b   a  b
d) Se a b  A, então  a   b  a  b
Demonstração:
Pelo item anterior,  a   b   a   b

   ab

 ab

Em particular, em Z,    , para a  b  1,  1   1  1  1  1   1 1   1   1
Definição: Diferença num anel A,   
Se a b  A, então a  b  a   b
e) Se a b e c  A, então a  b  c  a  b  a  c e a  b  c  a  c  b  c
Demonstração:
a  b  c  a b   c a  b c  a   b

 ab  a  c  ab   ac

 ab  ac

c  ac   b c  ac   bc

 ac  bc

Subanéis
Definição: Sejam (A,+,  ) um anel e L um subconjunto não vazio de A. Dizemos que L é subanel de A quando:
01. L é fechado para