O método de laplas

Em matemática, o método de Laplace é uma técnica originalmente desenvolvida por Pierre-Simon Laplace (1774, p. 366-367) para aproximar integrais da forma

onde é uma função duplamente diferenciável, M é um grande número, e os pontos finais da integral a e b podem estar no infinito. Índice * 1 A ideia do método de Laplace * 2 Teoria geral do método de Laplace * 3 Extensão do Método de Laplace: Descida mais íngreme * 4 Generalizações posteriores * 5 Integrais complexas * 6 Exemplo 1: aproximação de Stirling * 7 Exemplo 2: estimativa de parâmetros e inferência probabilística * 8 Ver também * 9 Referências |
A ideia do método de Laplace

A função em azul blue, é mostrado no topo para e em baixo para Aqui, com um máximo global em Isto é visto que como cresce de maneira mais acentuada, a aproximação desta função por uma função Gaussiana (mostrada em vermelho) é melhor obtida. Esta observação é subjacente ao método de Laplace.
Assumindo que a função f(x) tem um único máximo global em x0. Então, o valor f(x0) irá ser maior que outros valores f(x). Se nós multiplicarmos esta função por um grande número M, o lapso entre Mf(x0) e Mf(x) só irá aumentar, e então ele irá crescer exponencialmente para a função

Como tal, contribuições significativas para a integral dessa função só virá a partir de pontos x em um vizinhança de x0, a qual pode então ser estimada.
Teoria geral do método de Laplace
Para estabelecer e provar o método, são necessários alguns pressupostos. Assume-se que x0 não é um ponto final do intervalo de integração, que o valor f(x) pode não ser muito próximo a f(x0) exceto se x é próximo a x0, e que .
Pode-se expandir f(x) em torno de x0 pelo teorema de Taylor,

onde
Desde que f tem um máximo global em x0, e já que x0 não é um ponto final, ele é um ponto estacionário, então f'(x0)=0 nesse ponto. Com essa simplificação, a função f(x) pode ser aproximada a ordem quadrática por

para x próximo a x0 (lembrando que a segunda