O mito das ambiguidades nas representacoes decimais

O Mito das Ambig¨ idades nas Representa¸˜es Decimais u co Gentil Lopes da Silva∗ 15 de agosto de 2008

Resumo Este trabalho p˜e fim `s intermin´veis pendengas sobre as representa¸˜es o a a co decimais de reais do intervalo [ 0, 1 ]. Mostramos que as supostas ambig¨idades de algumas destas representa¸˜es, tipo: 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . u co s˜o um mito. Aqui esclarecemos, em definitivo, igualdades tais como a 0, 999 . . . = 1.

“E,

conquanto as ideias e o

pensamento matem´ticos estejam em a constante evolu¸ao [. . .] a maioria c˜ dos problemas b´sicos fundamentais a nunca desaparece.” (G. Chaitin)

Introdu¸˜o: Neste trabalho abordaremos a quest˜o das representa¸oes ca a c˜ decimais e perseguiremos, dentre outros, o seguinte objetivo: mostrar que as supostas ambig¨ idades de tais representa¸oes s˜o um mito. u c˜ a O conceito do ´ter revelou-se um fantasma criado pela imagina¸ao dos e c˜ f´ ısicos do s´culo XIX. Neste trabalho mostramos, igualmente, que representa¸oes e c˜ tipo 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . n˜o tˆm “existˆncia real”; s˜o fantasmas criados a e e a pela imagina¸ao dos matem´ticos. c˜ a Assim como foi decisivo, para o progresso da f´ ısica, que se exorcizasse o a fantasma do ´ter, cremos que igualmente ser´ de relevˆncia para a matem´tica e a a exorcizarmos os fantasmas das ambig¨ idades. u Mostraremos que o esclarecimento desta quest˜o − aqui a deixamos assaz a cristalina − vai simplificar, ami´ de, muitas constru¸oes matem´ticas; a exemplo u c˜ a da constru¸ao da curva de Peano. Na referˆncia [4] mostramos uma (nova) c˜ e constru¸ao desta curva mais simples que as constantes na literatura. c˜ Representa¸oes decimais c˜ Existem duas alternativas para se definir as representa¸oes decimais: via c˜ convergˆncia de s´ries e via bije¸ao entre conjuntos. e e c˜ Para exemplificar a primeira alternativa (ver [2]/p´g. 231): a “Antes de definir ϕ, lembremos que os n´ meros reais admitem n˜o somente u a uma express˜o decimal como tamb´m, fixado qualquer n´