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Seja x1, x2, ..., xn uma amostra aleatória e suponha que um provável candidato para a função de distribuição acumulada (f.d.a.) dos dados seja F(x), o teste de hipóteses para verificar a adequação da distribuição aos dados é Anderson e Darling (1952, 1954) propuseram a seguinte estatística para testar (4.3.2.1) . sendo Fn(x) a função de distribuição acumulada empírica definida por sendo as estatísticas de ordem da amostra aleatória e a função indicadora que vale 1 se e 0 se , i = 1, ..., n.
A estatística A2 pode ser representada numa forma equivalente como A transformação F(x(i)) leva x(i) em U(i), sendo U(1), ..., U(n) uma amostra de tamanho n com distribuição uniforme em (0,1). Logo, Para calcular o valor da estatística A2, devemos seguir os passos abaixo:
1. Ordene os valores da amostra: x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n);
2. Quando necessário, estime os parâmetros da distribuição de interesse;
3. Calcule Ui = F(x(i)) e calcule o valor da estatística de Anderson Darling (4.3.2.2): (observe que esta é uma forma equivalente à (4.3.2.2))
4. Para cada uma das distribuições calcule, se for o caso, o valor da estatística modificada de acordo com as tabelas dadas para cada uma delas.
Para uma distribuição com parâmetros conhecidos podemos encontrar os valores da função de distribuição acumulada da estatística A2 tabulados em Peter and Lewis(1960). No entanto, surge um problema quando um ou dois dos parâmetros da distribuição precisam ser estimados, para contornar esse problema Stephens(1974, 1976, 1977) utilizou métodos assintóticos para tabular os valores dessas probabilidades quando os parâmetros das distribuições são desconhecidos.
Aplicação
Vamos aplicar o teste de qualidade de ajuste de Anderson Darling a algumas das distribuições de probabilidade mais conhecidas tais como a Normal, Exponencial, Weibull, Lognormal e Valor Extremo. Para essas distribuições o parâmetro θ pode ser univariado ou bivariado, isto é, ele terá no máximo duas