C Lculo II Cap Tulo I

Capítulo I: a Integral
1.1 Primitiva: Dizemos que uma função g(x) é primitiva de uma outra função .f(x) se esta é a derivada daquela.
Exemplos:
g(x) = x³ é a primitiva de 3x² , pois a derivada de x³ é 3x²; h(x) = sen(x) é a primitiva de cos(x), pois a derivada de sen(x) é cos(x); l(x) = ex é a primitiva de ex, pois a derivada de ex é ex;
Mas, veja que g(x) = x³ não é a única primitiva de 3x², pois: x³ + 5 também é, uma vez que a derivada de x³ + 5 é 3x²; x³ - também é, uma vez que a derivada de x³ - é 3x²; x³ + também é, pois a derivada de x³ + é 3x²; x³ + C, onde C = constante, também é, pois a derivada de x³ + C é 3x². De um modo geral, se g(x) = x³ é uma primitiva de f(x) = 3x², vê-se que existem infinitas primitivas dessa f(x), diferindo por uma constante. Essa primitiva ampla (geral), expressa por g(x) +C, onde C = constante, será denominada integral indefinida da f(x), pois a ela corresponde uma infinidade de primitivas que diferem entre si por uma constante. Assim: A primitiva geral de f(x) = 3x² é representada por g(x) = x³ + C, ou a integral indefinida de f(x) = 3x² é x³ + C, ou simbolicamente ; no caso exemplificado:

1.2 Propriedades das integrais indefinidas:
a) A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto dessa constante pela integral da função: ;
b) A integral da diferencial de uma função é igual a essa função acrescida de uma constante arbitrária: ;
Obs.:
c) A diferencial da integral de uma função é igual ao produto dessa função pela diferencial da variável livre: d;
d) A integral de uma soma (ou diferença) de funções é igual à soma (ou a diferença) das integrais dessas funções:

e) Pode-se efetuar uma mudança de variáveis (ou mais de uma) sob o sinal de integração, trocando-se também a diferencial da variável independente, como no exemplo: = , onde x + 1 = t e (1 + 0)dx = dt ou dx = dt.

1.3 Quadro das integrais imediatas (considerando-se a integração como processo inverso do da derivação):
1)
2)