A instabilidade numérica e sua cura

RELATÓRIO

Método numérico é um algoritmo composto por um número finito de operações envolvendo apenas números como operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a uma tabela de valores, consulta a um gráfico, arbitramento de um valor.
Na análise numérica, a estabilidade torna-se uma propriedade desejável de algoritmos numéricos. A estabilidade está relacionada à precisão do algoritmo. A noção de erro está presente em todos os campos do cálculo numérico. De um lado, os dados, em si, nem sempre são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, frequentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos.
Quando os erros se acumulam durante o processo e influenciam muito no resultado final, temos a instabilidade numérica. Ela se manifesta devido à natureza do algoritmo ou do próprio problema.
O problema da instabilidade numérica torna-se visível no problema 1, onde foram feitos aproximações a partir de figuras geométricas inscritas e circunscritas em um círculo de raio 1 e perímetro de 2π.
Os polígonos relatados (inscritos e circunscritos) inicialmente possuíam 4 lados, sendo os lados definidos pelo teorema de Pitágoras como e 2 respectivamente, formando quadrados (fig. 1).
Figura: 1
Problema 1: Instabilidade numérica e sua cura
1.1 Utilizando as relações dadas no exercício e representam a longitude do lado do polígono regular de lados circunscrito e inscrito, respectivamente. Com a elaboração do algoritmo iterativo para calcular as estimativas inferiores e superiores para , com , para , obteve-se o seguinte resultado:
Para , os valores de aumentavam e os de diminuíam, ambos convergindo para .

Tabela 1

2
2.828427076339722
3.999999761581421
3
3.061467409133911
3.313708543777466

13
3.141592741012573
3.141592979431152