A FORMULA DE HERON

6. EXPOSIÇAO DA FORMULA DE HERON

Heron de Alexandria é o responsável por elaborar uma formula matemática que calcula a área de um triangulo em função das medidas dos três lados.

A formula de Heron de Alexandria é muito utilizado nos casos em que não sabemos a altura dos lados.

Em um triangulo de lados medindo a,b e c podemos calcular a sua área utilizando a formula de Heron:

Exemplo 1:

Calcule a área do triângulo com medidas 9, 7 e 14

p = (9 + 7 + 14) / 2 p = 30 / 2 p = 15

A = √15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)
A = √15 * 6 * 8 * 1
A = √720
A = 26,83 cm2(aproximadamente)

Utilizando a Fórmula de Heron, podemos calcular a área da região
Com as seguintes medidas:

26cm, 26cm e 20cm

p = (26 + 26 + 20) / 2 p = 72 / 2 p = 36

A = √36(36 – 26)(36 – 26)(36 – 20)
A = √36 * 10 * 10 * 16
A = √57600
A = 240 cm2

http://www.mundoeducacao.com/matematica/formula-heron.htm
Área de uma região triangular
Teorema: se um triangulo possui os lados medindo a, b e c e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c , então a área da região triangular será dada por:
A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de x>0.

Demonstração: Seja o triângulo com a base a e os outros lados com b e c. Os lados b e c têm projeções ortogonais, indicadas por m e n sobre o lado a.

Tomando h como a medida da altura do triângulo, relativa ao lado a, segue que a área da região triangular será dada por A=a.h/2. Temos a formação de mais dois pequenos triângulos retângulos e com eles, podemos extrair as três relações: b²=m²+h², c²=n²+h², a=m+n

Subtraindo membro a membro a 2a. relação da 1a. e usando a 3a., obtemos: b²-c² = m²-n² = (m+n)(m-n) = a(m-n)

Assim:

m + n = a m - n = (b²-c²)/a

Somando e subtraindo membro a membro, estas últimas expressões, segue que: m = (a²+b²-c²)/2a n = (a²+c²-b²)/2a

Como a+b+c=2p, aparecem as três expressões: a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2(p-c) a+c-b = a+b+c-2b = 2p-2b = 2(p-b) b+c-a = a+b+c-2a = 2p-2a = 2(p-a)
Temos então que