a existencia de uma unica solução nao negatica-Modelo de Leontief

A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA O MODELO DE LEONTIEF
Fernanda Andrade da Silva, Fernando Costa, Alessandra Lima, Profa. Dra. Marta Cilene
Gadotti- UNESP - Campus de Rio Claro, Matemática, [e-mail], BolsistaPET
Palavras Chave:Álgebra Linear, Wassily Leontief, Modelo de Leontief.

1. Introdução
Neste trabalho relembraremos a descrição do modelo de econômico de Leontief, daremos algumas definições necessárias e faremos a construção em detalhes da existência de uma única solução não-negativa do modelo.
A descrição detalhada do modelo está feita no trabalho “Descrição do Modelo Econômico de
Leontief”., dos mesmos autores.

2. Definições
Apresentaremos inicialmente algumas definições envolvendo matrizes necessárias para a prova do resultado.
Definição 2.1 Uma matriz A nxn é não-negativa se

, x matriz nx1
Definição 2.2 Uma matriz A não-negativa, é chamada de produtiva se existe um x > 0 tal que tal que x > A x.
Definição 2.3 A é uma P-matriz se qualquer submatriz quadrada de A, cuja a diagonal principal seja uma parte de A, tem determinante positivo.
Definição 2.4 Seja A uma matriz nxn, definimos determinantes das seguintes submatrizes

a11 ,

a 11 a 12 a 21 a 22

,

a 11 a 12 a13 a 21 a 22 a23

, ... ,

como menores principais de A os

a 11 a 12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2n
.

a31

a32 a33

.

.
.

an1

.
.

an2

ann

Note que, o último dos menores principais coincide com o determinante da matriz A.
Definição 2.5 Uma matriz A é chamada não singular quando possui inversa, ou seja, possui determinante não nulo.

3. O Modelo de Leontief
O sistema analítico da economia de um país que Wassily Leontief apresentou em " The
Structure of the American Economy 1919-1939" em 1941, consiste em um sistema de
XXV Congresso de Iniciação Científica

equações lineares cujos elementos devem ter significados econômicos, isto é devem ser nãonegativos.

Sabemos que um sistema linear de n equações e n incógnitas