Volumes por fatiamento e rota o em torno de um eixo

Volumes por fatiamento e rotação em torno de um eixo
Dividimos [a,b] em subintervalos de largura (comprimento) e fatiamos o sólido, como faríamos com um pedaçõ de pão, por planos perpendiculares ao eixo x nos pontos de partição . Os planos , perpendiculares ao eixo x nos pontos de partição, dividem S em “fatias” (como as fatias de um pedaço de pão de forma). A figura 1 mostra fatia típica. Aproximamos a fatia situada entre o plano em e o plano em usando um sólido cilíndrico com área de base altura (figura 2). O volume desse sólido cilíndrico é , que é aproximadamente o mesmo volume da fatia:

Figura 1- Fatia típica do sólido S. Figura 2 – A fatia fina do sólido mostrada na figura 1 é ampliada aqui e aproximada pelo sólido cilíndrico com base S(), que tem área A() e altura .

Volume da k-ésima fatia ≈. O volume V do sólido inteiro S é, por conseguinte, aproximado pela soma desses volumes cilíndricos,

Isso é uma soma de Riemann para função A(x) em [a,b]. Esperamos que as aproximações dessas somas melhorem à medida que a norma da partição de [a,b] tenda a zero. Tomando uma partição de [a,b] com n subintervalos e ||P|| -> 0, teremos:

Assim, determinamos a integral definida, que é o limite dessas somas de Riemann, como o volume do sólido S.

Definição: O volume de um sólido de área de seção transversal intregrável A(x) de x=a até x=b é a integral de A de a até b,
A=