vetorial

Aquecimento Para a Prova de C´lculo Vetorial a 1. Monte (sem calcular) as integrais a seguir em fun¸˜o de t. ca (a) A integral da fun¸ao f (x, y, z) = 3xy − y 2 z 5 ao longo do caminho σ(t) = c˜ 3
(t, 2, t − t ), do ponto (−1, 2, 0) ao ponto (0, 2, 0);
(b) A integral de f (x, y, z) = y sobre σ(t) = (t2 , 1, 3t2 ) de (0, 1, 0) at´ (1, 1, 3); e (c) A integral do campo F (x, y, z) = (z, xy, 2y) ao longo do caminho σ(t) =
(et , ln t, tet ) de t = 0 at´ t = 2; e (d) A integral de F (x, y) = (x2 y, y) ao longo do caminho σ(t) = (cos t, sen t) de t = 0 at´ t = 2. e 2. Para cada uma das integrais a seguir, determine qual a melhor estrat´gia para e calcul´-la. a (a) Integrar F (x, y, z) = (y 2 z + y cos(xy), 2xyz + x cos(xy), xy 2 ) ao longo da curva x2 + y 2 = 9, do ponto (0, 3, 0) at´ (−3, 0, 0); e (b) Integrar F (x, y) = (xy, xy 2 ) ao longo da curva x = y 2 +2 do ponto (3, −1) at´ (2, 0); e (c) Integrar F (x, y) = yi + xyj ao longo dos segmentos de reta ligando (0, 0),
(2, 1), (0, 3) e (0, 0).
3. Caco quer saltitar entre nen´fares localizadas em (0, 0, 0) e (2, 4, 0). Juntando u a gravidade e o vento, o campo de for¸as atrav´s do qual ele est´ pulando ´ c e a e
2
dado por (2xy, x , −2). A curva que Caco est´ planejando para o salto ´ dada a e
2
por σ1 (t) = (t, 2t, 2t − t ).
(a) Encontre o trabalho que ter´ de ser realizado por Caco para o salto plaa nejado. (b) H´ um inseto saboroso fora do alcance do salto planejado por Caco, de a modo que ele resolve pular ainda mais alto para peg´-lo. O novo salto a ´ dado por σ2 (t) = (t, 2t, 4t − 2t2 ). Supondo que comer o inseto dar´ a e a
Caco 2 unidades de energia, determine se vale a pena fazer este salto ao inv´s do primeiro.
e