Vetores

Vetores

Produto escalar
Produto vetorial
Produto misto

Módulo de um vetor e vetores unitários
O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:
[pic]
Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.
Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³. i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)
Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então: v = (a,b,c) = a i + b j + c k
Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é: u = v / |v|
Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é: w = k v
As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por: vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)

Produto escalar
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:
v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Exemplos:
O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é: v.w =
O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é: v.w =

Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:
(PE1) v.w = w.v
(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²
(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w
(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
(PE5) |k v| = |k| |v|
(PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz)
(PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
|v.w = |v| |w| cos(t) |[pic] |

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo