Vetores e Sistemas de Coordenadas: Cartesianas, Cilíndricas e Esféricas

Vetores e Sistemas de Coordenadas
Prof. Luciano Camargo Martins e-mail: [e-mail] home page: http://www.lccmmm.hpg.com.br
Departamento de F´sica ı CCT/UDESC-Joinville-SC, Brasil

1

Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

Z
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00

(x,y,z)

111
000
111
000
111
000
111
000

i r k

j

z k i
X

y

j
1111
0000
1111
0000
1111
0000

x

Y

Figura 1: O sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z)

1.1

Posi¸˜o, Velocidade, Acelera¸˜o, etc... ca ca r v a dV r =
=
=
=
=

xi + yj + z k xi + yj + z k
˙
˙
˙
xi + yj + z k
¨
¨
¨
dx dy dz
(x2 + y 2 + z 2 )1/2

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

1.2

Gradiente e Laplaciano de uma fun¸˜o escalar ϕ = ϕ(x, y, z) ca ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ i+ j+ k ∂x
∂y
∂z
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+ 2 + 2
∇2 ϕ(x, y, z) =
∂x2
∂y
∂z
∇ϕ(x, y, z) =

1.3

(6)
(7)

Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i+Ay j+Az k
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Ax ∂Az
∂Az ∂Ay i+ ∇×A =
−
−
∂y
∂z
∂z
∂x dA dAx dAy dAz
=
i+ j+ k dt dt dt dt

(8)

∇·A =

1.4

j+

∂Ay ∂Ax
−
∂x
∂y

(9)

k

(10)

A Regra da M˜o Direita para o produto vetorial a a b indicador 0000
1111

médio

1111
0000
111
000
1111
0000
111
000
1111
0000
111
000
1111
0000
111
000
1111
0000
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000
11111
00000
1111
0000
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000
11111
00000
1111
0000
111
000
11111
00000
1111
0000
111
000
11111
00000
111
000
11111
00000
111
000
11111
00000

b

polegar
(C) Copyright 2003 Luciano Camargo Martins

a

Figura 2: A regra da m˜o direita para o produto vetorial. O produto vetorial a × b ´ normal ao a e plano definido pelos vetores a e b.

2

2

Coordenadas Cil´ ındricas (ρ, ϕ, z)

Z

11
00
11
00
11
00
11
00
11
00

k

11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00

uϕ

uρ

uρ k r

uϕ

z k j i ϕ

X

y

ρ

11111
00000