vestibular de matemática

USEB 2000. Adapatada). para qalquer x real a sequência (5x, 5x+1, 5x +2, 5x+3,.....) é uma progressão geométrica de razão :

a = 5-1 b= 5 c= 5x d= 5-x e= 5x+1
Para encontrar a razão (q) de uma progressão geométrica (PG) devemos fazer a razão entre um termo e o seu antecessor, pois sabemos que a fórmula do termo geral (a_n) de uma PG é:

a_n=a_1.q^{n-1}

Se fizermos a razão entre dois termos consecutivos teremos a razão (q). Assim:

\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_1.q^{(n-1)}}{a_1.q^{[(n-1)-1]}}=\frac{1.q^(n-1)}{1.q^{(n-1)}.q^{-1}}

\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{q^(n-1)}{q^{(n-1)}.q^{-1}}=\frac{1}{1.q^{-1}}=\frac{1}{q^{-1}}=q^{1}=q

\frac{a_n}{a_{n-1}}=q

Sabendo disto basta fazer a razão entre dois termos consecutivos quaisquer desta PG. Assim:

q=\frac{a_2}{a_{1}}=\frac{5x+1}{5x}

Se fizermos com outros dois termos.

q=\frac{a_3}{a_{2}}=\frac{5x+2}{5x+1}

Podemos perceber que está sequência não é uma PG pois encontramos razões diferentes. Esta sequência é uma progressão aritmética (PA). Podemos perceber calculando a razão (r) entre dois termos de uma PA. Assim:

a_n=a_1+r(n-1)

Logo:

a_2=a_1+r(2-1)

a_2=a_1+r(1)

a_2=a_1+r

5x+1=5x+r

5x+1-5x=r

1=r

r=1

Para testar vamos fazer com outros termos:

a_n=a_1+r(n-1)

a_3=a_1+r(3-1)

a_3=a_1+r(2)

a_3=a_1+2r

5x+2=5x+2r

5x+2-5x=2r

2=2r

2r=2

r=\frac{2}{2}

r=1

Como podemos ver a razão (r) foi a mesma. Então podemos concluir que esta sequência NÃO é um PG e sim uma PA com razão 1.

ATENÇÃO: Analisei melhor sua pergunta e para ter sentido a sequência dada deve ser (5^x, 5^{x+1}, 5^{x+2}, 5^{x+3}, ...). Esta sim é uma PG cuja razão é:

\frac{a_n}{a_{n-1}}=q

\frac{a_2}{a_{2-1}}=q

\frac{a_2}{a_{1}}=q

\frac{5^{x+1}}{5^x}=q

\frac{5^x.5^1}}{5^x}=q

\frac{1.5^1}}{1}=q

5^1=q

5=q

q=5

Logo a razão (q) da PG dada será 5.

FUVEST 2005} Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética.