Variáveis Complexas

1. Variáveis complexas
Os números complexos pertencem ao conjunto C e são aqueles que assumem a forma genérica:

em que x e y pertencem ao conjunto dos números reais R e é chamada de unidade imaginária solução da equação . Para este número, seguem as definições:
Re(z) = x → parte real de z.
Im(z) = y → parte imaginária de z. → módulo de z. → argumento de z.
Podemos verificar sem dificuldades que

o que permite representar o número z na forma polar.

As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são realizadas normalmente considerando que . Exemplo:

O conjugado z* de um número complexo é definido de tal forma que , o que leva a

O inverso de um número complexo deve satisfazer a equação a qual multiplicada de ambos os lados pelo conjugado de z fornece

2. Função Complexa
Uma função de variável complexa é uma aplicação que associa para cada um único , ou seja

em que D é o seu domínio e F é a sua imagem ou contra-domínio.
Tomando o valor correspondente de f(z) pode ser representado como

Desta forma, podemos interpretar f(z) como uma função de duas variáveis que mapeia os pontos em .
Uma das mais importantes funções de variáveis complexas é a função exponencial

a qual para y = 0 torna-se uma função de variável real e para x = 0 fornece a chamada fórmula de Euler, que permite expressar qualquer número complexo como

3. Limite
Para , podemos calcular o limite

desde que para todo ε > 0 exista um δ > 0 tais que |f (z) − f0| < ε sempre que z ∈ D e |z − z0| < δ.

4. Continuidade
Seja f(z) uma função definida em D e seja z0 um ponto de D.
Então f(z) é contínua em z0 se f0 = f (z0).
Podemos afirmar também que

5. Derivada
A derivada de uma função f(z) no ponto z0 é definida como

sendo que este limite deve ser invariante com a trajetória escolhida para z tender a z0.
A exigência de se ter o mesmo valor para o limite é equivalente a exigir que a derivada direcional seja