Variáveis complexas

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas

CAPÍTULO VI – VARIÁVEIS COMPLEXAS
Neste capítulo, estudaremos as funções de variáveis de complexas, bem como limites, continuidade, derivação e integração destas funções, analisando as diferenças e as semelhanças com o cálculo de funções de uma variável real.

1. FUNÇÃO COMPLEXA:
Seja uma variável complexa, z = x + j y , onde x e y são números reais. Consideremos ainda a variável complexa w = u + jv , onde u e v são números reais. Vamos supor que z está num plano, o qual chamaremos de z-plano (domínio) e que w está em outro plano complexo chamado de w-plano (imagem). Vamos ainda supor que existe uma regra que associa cada ponto do z-plano (ou uma porção deste) com um ponto no w-plano. Desta forma dizemos que w é uma função de z , e podemos escrever este fato simbolicamente como:

w = f (z ) .

(1.1)

Se a cada z corresponde um único valor de w, então a função é dita unívoca ou univalente ou simplesmente função. Entre essas encontramos as funções racionais, exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas. Uma função que não é unívoca é dita plurívoca ou multivalente. As inversas das funções exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas, bem como as funções potência não inteira são funções multivalentes e não serão estudadas aqui. Para maiores informações vide referências. “A menos que se afirme em contrário iremos supor que todas as funções consideradas são unívocas”. OBSERVAÇÃO : Devemos notar que o z-plano e o w-plano são geometricamente similares, sendo muitas vezes considerados o mesmo plano. Uma função complexa sempre pode ser decomposta nas suas partes real u ( x, y ) e imaginária

v(x , y ) . Por exemplo, vamos decompor a função f (z ) = z 2 + z + 1 em sua parte real e imaginária, substituindo a definição z = x + j y em f(z), obtendo-se que: w = f (z ) = (x + jy )2 + x + jy + 1 = x 2 − y 2 + x + 1 + j(2 xy + y ) 1 (1.2)

(

)

(1.3)

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas

e assim:
 u (x ,