trigonometria arcos e angulos

Arcos e Ângulos
Denomina-se

arco

de uma circunferência uma parte da circunferência determinada por dois de

seus pontos e o representamos por

෢
‫ܤܣ‬

(tomando

‫ ܣ‬como origem e considerando o sentido anti-horário).

B

෢
ܽ‫ܤܣ ݋ܿݎ‬
A

O

Para medir arcos de uma circunferência utilizamos o com a mesma origem

തതതത ݁ ܱ‫ܤ‬
തതതതሻ. As
ሺܱ‫ܣ‬

ângulo, o qual é formado por duas semi-retas

unidades mais usadas para medir o ângulo são o grau (°) e o radiano

(rad):

Grau

: quando a circunferência é dividida em 360 partes iguais, cada uma das partes é um arco de

um grau (1 °).

Radianos

: um radiano (1rad) é a medida de umcomprimento dearco que apresente o mesmo

tamanho do raio da circunferência que o contém.

Relação entre Grau e Radiano
Sabendo que o comprimento de uma circunferência de raio

‫ݎ‬

é

2ߨ‫ݎ‬

u.c. (unidade de comprimento)

e conhecendo a medida de 1 radiano como igual a medida do raio da circunferência que o contém, tem-se:

‫ ܥ‬ൌ 2ߨ‫ ݎ‬ൌ 2ߨ · 1 ‫ ݀ܽݎ‬ൌ 2ߨ ‫݀ܽݎ‬

Com o exposto anterior é possível transformar unidades, ou seja, dado a medida de um arco em graus é possível obter esta mesma medida em radianos e vice-versa. De forma mais prática:

࣊ ࢘ࢇࢊ é equivalente a ૚ૡ૙°

90° ‫ݑ݋‬

ߨ
‫݀ܽݎ‬
2

270° ‫ݑ݋‬

3ߨ
‫݀ܽݎ‬
2

0° ൌ 360°
0 ‫ ݀ܽݎ‬ൌ 2ߨ ‫݀ܽݎ‬

180° ൌ ߨ ‫݀ܽݎ‬

Seno e Cosseno
Considere o ciclo trigonométrico cujo raio é 1 unidade e marquemos o ponto que o arco

෢
ܳܲ

corresponde ao ângulo

O seno do ângulo

ߠ.

ߠሺ‫ߠ ݊݁ݏ‬ሻ é a ordenadaሺ‫ݕ‬ሻ do pontoܲ.

O cosseno do ângulo

ߠሺܿ‫ߠ ݏ݋‬ሻ é a abscissa ሺ‫ݔ‬ሻ do pontoܲ.

ሺܿ‫ߠ ݏ݋‬, sen ߠሻ
‫݊݁ݏ‬ሺߠ
ߠ

cosሺ ߠሻ

ܲ. Na figura verifica-se

Ou seja,

ܲ possui coordenadas ሺܿ‫ߠݏ݋‬, ‫ߠ݊݁ݏ‬ሻ, e isto valerá para qualquer ponto pertencente ao ciclo.

Definindo desta forma observe alguns resultados importantes:

cos 0 ° ൌ cos 360° ൌ 1
‫ ݊݁ݏ‬0° ൌ ‫ ݊݁ݏ‬360° ൌ 0

cos 90 ° ൌ 0
‫ ݊݁ݏ‬90° ൌ 1

cos 180 ° ൌ െ1
‫ ݊݁ݏ‬180° ൌ 0

cos 270 ° ൌ 0
‫ ݊݁ݏ‬270° ൌ െ1

O sinal do Seno e do Cosseno também dependem da região do ciclo