TRANSLA O DE EIXOS NO 2

TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO ℜ2
Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos
Coordenados com origem O(0,0). Sejam O1x1 e O1y1 os novos eixos coordenados com origem O1(h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,y) um ponto qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas
P(x1,y1), em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que: chamadas de equações de translação no ℜ2.

Observe que, fazer uma translação no ℜ2, é transladar o sistema antigo
(primitivo), paralelamente aos eixos Ox e Oy, para uma nova origem O1(h,k).
Exemplo (1): Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O1(-3,2).
Solução: Usando as equações de translação, teremos: ⇒ ⇒ P(x1,y1)=(8,-5)

.

Exemplo (2): Determine a equação reduzida da elipse 2x2+3y2-8x+ y6-7= 0, depois que a origem foi transladada para o ponto O1(2,-1).
Solução: Fazendo: ⇒ na equação da elipse, teremos:
2(x1+2)2 +3(y1-1)2 -8(x1+2)+6(y1-1)-7=0 ⇒ +-18=0 ⇒ + = ⇒. Note que, a equação reduzida da elipse, antes da translação era, cujo centro é o ponto C(2,-1), ou seja, foi feita uma translação para o centro da elipse.

OBS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e y) da equação de uma cônica, devemos fazer uma translação de eixos para o centro dela, ou seja, fazer a nova origem O1(h,k) coincidir com o centro C(m,n) da cônica. Veja o exemplo (3).

Exemplo (3): Determine a translação de eixos que transforme a equação da hipérbole 3x2-4y2+6x+24y-135=0, na sua forma mais simples (sem os termos de primeiro grau).
Solução (1): Pela observação acima, devemos fazer uma translação para o centro da hipérbole. Passando para forma reduzida, teremos: 3(x+1)2-4(y-3)2=102⇒ =1. Logo, o centro é C(-1,3) que será a nova origem O1(h,k).
Fazendo: na equação geral, segue que:
3(x1-1)2 – 4(y1+3)2 + 6(x1-1)+24(y1+3)-135=0 ⇒ -=102.
Solução (2): Caso não