Trabalhos

Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

para , ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.
Caracterizações menos triviais de E
Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:
O número pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

Aqui n! representa o fatorial de n.
A função (função exponencial de base ) pode ser representada da seguinte forma:
,
assim, por exemplo, tem-se : ou ainda

Outra maneira de se encontrar o valor de é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

Ou, de forma mais simplificada (sequência [[OEIS:{{{1}}}|{{{1}}}]] na OEIS):

que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam já foram desenvolvidas.
O Número no Cálculo
A função exponencial tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

Isto significa que tem a notável propriedade de que a taxa de variação de no ponto x = t vale . Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante,