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Função linear é a função matemática que possui as seguintes duas propriedades:
Aditividade:
f(x+x') = f(x) + f(x');
Homogeneidade:
f(ax) = a f(x).
Em suma: f(ax+bx') = a*f(x)+b*f(x')
As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta com ordenada na origem, isto é, em que b=0.
Definição[editar]

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma y= a x, em que a é um número real. y é a variável dependente e x a variável independente; a é o coeficiente angular
Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma y = mx + b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando b é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.
Ver artigo principal: Aplicação linear
A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.
Sejam (V, F, \oplus_V, \otimes_V, +, \times) \mbox{ e } (W, F, \oplus_W, \otimes_W, +, \times) espaços vetoriais. Uma função f: V \rightarrow W é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:
\forall x, y \in V \ (f(x \oplus_V y) = f(x) \oplus_W f(y))
\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \otimes_V v) = a \otimes_W f(v))
Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:
\forall x, y \in V \ (f(x + y) = f(x) + f(y))
\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \ v) = a \