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NOTAS DE CÁLCULO III - PARTE I
Equações Diferenciais Lineares de 2ª. Ordem
0 – Definição
Chama-se equação diferencial linear de 2ª. ordem toda equação que pode ser escrita na forma:
𝑦" + 𝑃(𝑥)𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑅(𝑥)
A equação no formato acima é dita ser a forma padrão.
Se ∀ 𝑥, R(x) = 0 então a equação toma a forma

𝑦" + 𝑃(𝑥)𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0 e é chamada equação diferencial de 2ª. ordem homogênea.
Se 𝑅(𝑥) ≠ 0 diz-se que a equação é não homogênea.
Exemplos:
a)
b)
c)
d)

y" + 4y = e!! senx é não homogênea
𝑦" − 𝑦′ − 30𝑦 = 0 é homogênea
𝑦 !!! − 2𝑦" − 𝑦′ + 2𝑦 = 0
𝑦 !!! − 𝑦 !! − 𝑦 ! + 𝑦 = 0

1 – Uma equação diferencial linear de segunda ordem especial
Atividade 1 ;
Considere a equação 𝑦" − 𝑦 = 0.
Que função você conhece que tem derivada igual á própria?
a)

Verifique se 𝑦 = 𝑒 ! e 𝑦 = 𝑒 !! são soluções da ED.

b) Verifique que 𝑦 = 𝐶! 𝑒 ! e 𝑦 = 𝐶! 𝑒 !! são soluções.

c)

Verifique se 𝑦 = 𝐶! 𝑒 ! + 𝐶! 𝑒 !! é solução.

Atividade 2 :
a) Resolva o problema de condição inicial 𝑦" − 𝑦 = 0 e 𝑦 ! 0 = 3 e 𝑦 0 = 5.
2 – Equações lineares de coeficientes constantes e a equação característica
Notas de Cálculo

UCAM – Campos

Prof. Salvador Tavares

P. 1

Uma equação linear homogênea de coeficientes constantes é uma equação da forma
𝑦" + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 0
Veremos agora como resolver tais equações.
Lembremos que uma equação linear de 1ª. ordem 𝑦 ! + 𝑘𝑦 = 0 tem como uma solução a função exponencial, 𝑦 = 𝑒 !!" .
Isto pode nos dar uma ideia de tentar como solução de 𝑦" + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 0 a função 𝑦 = 𝑒 !" .
Substituindo a função 𝑦 = 𝑒 !" e suas derivadas, verifique o que ocorre.
3 – O método de resolução:
Para encontrarmos a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes do tipo 𝑦" + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 0, primeiro escrevemos a equação