trabalho

Classifica¸c˜ao de EDPs de segunda ordem
Equa¸c˜oes a derivadas parciais em Rn, de segunda ordem, e cujas partes principais s˜ao quase-lineares, ou seja, da forma (15.29), podem ser classificadas em cada ponto de acordo o n´umero de autovalores positivos, negativos e nulos
(incluindo a multiplicidade) que possui a matriz dos coeficientes Aab de sua parte principal. Essa classifica¸c˜ao ´e de grande importˆancia na teoria das equa¸c˜oes a derivadas parciais. Dizemos que a equa¸c˜ao ´e
• Parab´olica, se ao menos um dos autovalores da matriz A for nulo (em cujo caso A ´e singular);
• El´ıptica, se todos os autovalores da matriz A forem positivos ou se todos forem negativos;
• Hiperb´olica (ou Estritamente Hiperb´olica), se todos os autovalores da matriz A forem positivos, exceto um que ´e negativo, ou o oposto: se todos os autovalores da matriz A forem negativos, exceto um que ´e positivo;
• Ultra-hiperb´olica, se pelo menos dois dos autovalores forem negativos e pelo menos dois forem negativos, nenhum sendo nulo. Esse caso s´o pode ocorrer em n ≥ 4.
E importante notar que se ´ A depender da posi¸c˜ao, a classifica¸c˜ao da equa¸c˜ao pode mudar de um ponto a outro. Isso
´e o caso da equa¸c˜ao de Tricomi, como veremos logo adiante. Se A tamb´em depender de u, ent˜ao a classifica¸c˜ao pode depender tamb´em da solu¸c˜ao u da equa¸c˜ao.
O leitor que desejar entender o porquˆe da nomenclatura geom´etrica observada na classifica¸c˜ao acima ´e convidado `a leitura da Se¸c˜ao 8.5.2, p´agina 389, especialmente da parte referente `as superf´ıcies quadr´aticas.
A equa¸c˜ao de Laplace e a equa¸c˜ao de Poisson s˜ao do tipo el´ıptico, a equa¸c˜ao das ondas ´e do tipo hiperb´olico, a equa¸c˜ao do calor e do tipo parab´olico. Vide adiante.